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相关试卷

1、如图1是一个由菱形 $A B C D$ 和两个直角三角形 $△ A D Q$ 和 $△ C D P$ 所组成的平面图形，其中 $∠ B A D = \frac{π}{3}, P D ⊥ C D, Q D ⊥ A D, A D = 1, P D = Q D = \sqrt{2}$ ，现将 $△ A D Q$ 和 $△ C D P$ 分别沿 $A D, C D$ 折起，使得点 $P$ 与点 $Q$ 重合于点 $S$ ，连接 $B S$ ，得到如图2所示的四棱锥 $S - A B C D$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $S B D$ ；

(2)、若 $E$ 为棱 $S A$ 上一点，记 $\frac{|S E|}{|S A|} = λ (0 \leq λ \leq 1)$
（i）若 $λ = \frac{1}{3}$ ，求直线 $C E$ 与平面 $S B D$ 所成角的正切值；
（ii）是否存在点 $E$ 使得直线 $C E$ 与直线 $A D$ 所成角为 $60^{\circ}$ ，若存在请求出 $λ$ 的值，若不存在请说明理由.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，且 $△ A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $∠ A O B = 90^{\circ}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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3、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

(1)、求证：PA∥平面EDB；

(2)、求证：PB⊥平面EFD；

(3)、求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．

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4、已知圆 $C$ 过 $A (1, 0)$ ， $B (0, - 1)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 2 = 0$ 上.
（1）求圆 $C$ 的方程；
（2）设点 $P$ 是直线 $4 x - 3 y - 8 = 0$ 上的动点， $P M$ 、 $P N$ 是圆 $C$ 的两条切线， $M$ 、 $N$ 为切点，求切线长 $|P M|$ 的最小值及此时四边形 $P M C N$ 的面积.

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5、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $e_{1} + e_{2}$ 的取值范围是.

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6、有一个封闭的正三棱柱容器，高为 $12$ ，内装水若干（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点 $E$ 、 $F$ 、 $E_{1}$ 、 $F_{1}$ 分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为．

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7、已知直线 $l$ 经过 $A (- 3, 2)$ ， $B (1, 6)$ 两点，则直线 $l$ 的倾斜角为．

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8、已知E，F，G，H分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B, B C, C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点， $A B = 2$ ，则（）

A、直线 $H G$ 与直线 $A_{1} B$ 异面 B、直线 $E F, H G, D C$ 交于同一点 C、过 $A 、 G 、 D_{1}$ 三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ D、动点K在侧面 $A_{1} A D D_{1}$ 内（含边界），且 $K E = A A_{1}$ ，则动点K的轨迹长度为 $\sqrt{3} π$

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9、倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 相交于不同两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$ ，则（　　）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 1$ B、当 $α = 45^{\circ}$ 时， $|A B| = 8$ C、存在 $α$ ，使 $∠ A O B = 90^{\circ}$ （ $O$ 为坐标原点） D、对任意的 $α$ ，总存在点 $N$ ，使 $∠ A N O = ∠ B N O$ （ $O$ 为坐标原点）

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10、下列说法中不正确的是（　　）

A、平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ 的距离相等的点的轨迹是抛物线 B、平面内与两个定点 $F_{1} (- 2, 0)$ 和 $F_{2} (2, 0)$ 的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 C、平面内与两个定点 $F_{1} (- 2, 0)$ 和 $F_{2} (2, 0)$ 的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线 D、平面内与两个定点 $F_{1} (- 2, 0)$ 和 $F_{2} (2, 0)$ 的距离之比等于2的点的轨迹是圆

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11、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $n = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x + 2 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 是平面 $x - y + 1 = 0$ 与平面 $y - z + 2 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（　　）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12、已知点 $P$ 在棱长为1的正方体 $A B C D - E F G H$ 的内部且满足 $\vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A E}$ ，则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{145}}{12}$

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13、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 3, A D = 2, A A^{'} = 3$ ， $∠ B A D = ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60^{\circ}$ ，则线段 $A C^{'}$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{22}$ B、 $\sqrt{43}$ C、 $\sqrt{22 + 21 \sqrt{3}}$ D、 $\frac{\sqrt{130}}{2}$

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14、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

A、若 $m / / n, m / / α$ 且 $n / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $m ⊥ n, m / / α$ 且 $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m / / α$ 且 $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ 且 $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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15、若直线 $x + y - m = 0$ 被圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $m =$ （　　）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 1$ C、 $\pm 2 \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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16、顶点在坐标原点，焦点坐标为 $(0, \frac{1}{2})$ 的抛物线的标准方程为（　　）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = x$ C、 $x^{2} = 2 y$ D、 $x^{2} = y$

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17、已知空间向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 5), \vec{b} = (1, 5, - 1)$ ，则（　　）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (- 2, 7, 6)$ B、 $|\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ C、 $3 \vec{a} - \vec{b} = (- 10, - 1, 16)$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (f (a) - 2) = 1$ ，则实数 $a$ 的取值集合为.

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19、已知正数x，y满足 $2 x + y - 2 x y = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是.

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20、 $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} + {(\frac{1}{π})}^{- 1} + {(\frac{1}{4})}^{0} =$ .

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