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相关试卷

1、已知 $a \in R$ ，对任意 $z \in (0, + \infty)$ ，方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = a z \\ x y = ln z \end{array}$ 存在实数解 $(x, y)$ ，则 $a^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{2}{e}$ C、1 D、2

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2、已知 $sin (θ + \frac{π}{3}) sin (θ - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{20}$ ，则 ${sin}^{4} θ + {cos}^{4} θ =$ （）

A、 $\frac{23}{50}$ B、 $\frac{27}{50}$ C、 $\frac{29}{50}$ D、 $\frac{31}{50}$

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{3} + a_{5} = 10$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{b_{a_{n}}\}$ 的前10项和为（）

A、2046 B、3069 C、6138 D、6144

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4、记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则“ $1 < x < 2$ ”是“ $0 < [x] < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{12})$ B、 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{12})$ C、 $g (x) = sin (2 x - \frac{5 π}{12})$ D、 $g (x) = sin (2 x - \frac{7 π}{12})$

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6、椭圆 $3 x^{2} + y^{2} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7、已知复数 $z = \frac{2}{\sqrt{3} - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则其共轭复数为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - i}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + i}{2}$ C、 $\sqrt{3} - i$ D、 $\sqrt{3} + i$

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8、已知集合 $A = \{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}, B = {x ∣ 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}$ B、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 0 < x \leq 3}$ D、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 3\}$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）已知直线 $y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.
①若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的值；
②在 $x$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使 $\overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{Q B}$ 为定值？若是，求点 $Q$ 的坐标；若不是，请说明理由.

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10、已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + k = 0$ 表示圆，则下列结论正确的是（）

A、圆心坐标为 $(- 2, 3)$ B、当 $k = 0$ 时，半径 $r = \sqrt{13}$ C、圆心到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、当 $k = 4$ 时，圆面积为 $16 π$

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11、已知两圆C₁：(x＋3)²＋y²＝1，C₂：(x－3)²＋y²＝9，动圆M同时与圆C₁和圆C₂外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (x \geq 1)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ (x≤－1)

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12、若直线 $a x + y + c = 0$ 经过第一、二、四象限，则有（）

A、 $a > 0$ ， $c > 0$ B、 $a > 0$ ， $c < 0$ C、 $a < 0$ ， $c > 0$ D、 $a < 0$ ， $c < 0$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共10项， $a_{1} = 0, a_{10} = 20$ 且 $\{m | m = a_{k + 1} - a_{k}, 1 \leq k \leq 9, k \in N\} = \{1, 2, 3\}$ .若满足 $a_{k + 1} - a_{k} = 1$ 的 $k$ 共有奇数个，则满足条件的不同数列的个数为．

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14、每个正整数都可以唯一表示成以下形式： $\sum_{i = 1}^{2 k + 1} {(- 1)}^{i - 1} 2^{a_{i}} = 2^{a_{1}} - 2^{a_{2}} + \dots + 2^{a_{2 k - 1}} - 2^{a_{2 k}} + 2^{a_{2 k + 1}}$ ，其中 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{2 k} < a_{2 k + 1}, a_{i} \in N (1 \leq i \leq 2 k + 1)$ 且 $k$ 为该正整数的“长度”，例如 $5 = 2^{0} - 2^{2} + 2^{3}$ ， $7 = 2^{0} - 2^{1} + 2^{3}$ ．若正整数 $n (1 \leq n \leq 1024)$ 的“长度”为1，则这样的 $n$ 的个数为（）

A、 $C_{9}^{3}$ B、 $C_{10}^{3}$ C、 $C_{11}^{3}$ D、 $C_{12}^{3}$

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15、下列函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 为同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 1$ 和 $g (x) = \sqrt{{(x + 1)}^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2} + x^{0}$ 和 $g (x) = \frac{x^{3} + x}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + x$ 和 $g (x^{2}) = {(x^{2} + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ D、 $f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2}}}$ 和 $g (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x}$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则“ $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 为等边三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $A = \{x | x < 3\}, B = \{y \in N | y^{2} < 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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18、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为B， $△ A_{2} B F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $Q A_{2}$ ， $Q A_{1}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，且 $k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3})$ ，求 $△ P Q F_{1}$ 面积的取值范围．

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C = C D = 2 A B = 2$ ， △ $P A D$ 是等边三角形， $M, N$ 分别为 $B C, P D$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）若二面角 $P － A D － C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $M N$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值．

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3, \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F}, \vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

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