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相关试卷

1、在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为 $\frac{3}{4}$ ；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为 $\frac{4}{5}$ ；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；

(2)、物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ .
（i）求 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ，并证明：数列 $\{a_{n} + \frac{4}{5} b_{n} - \frac{2}{3}\}$ 为等比数列；
（ii）求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.

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2、在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC
⊥平面ABC，SA=SC=2 ， M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = \frac{1}{8}$ ， $a_{6} = \frac{1}{64}$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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4、为了测量一个不规则公园 $C, D$ 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距 $1 km$ 的 $A, B$ 两点，点 $B$ 在点A的正东方向上，且 $A, B, C, D$ 四点在同一水平面上．从点A处观测得点 $C$ 在它的东北方向上，点 $D$ 在它的西北方向上；从点 $B$ 处观测得点 $C$ 在它的北偏东 $15 °$ 方向上，点 $D$ 在它的北偏西 $75^{\circ}$ 方向上，则 $C, D$ 之间的距离为km.

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5、若正整数 $m, n$ 的公约数只有1，则称 $m, n$ 互质.设 $n$ 为正整数，则函数 $φ (n)$ 表示小于或等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数，例如， $φ (3) = 2, φ (7) = 6, φ (9) = 6$ .函数 $φ (n)$ 以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（）

A、 $φ (5) = φ (10)$ B、 $φ (2^{n} - 1) = 1$ C、 $φ (32) = 16$ D、 $φ (2 n + 2) > φ (2 n), n \in N^{*}$

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6、已知 $(e^{x} - y) (x - 2 y) \leq 0$ ，则（）

A、 $\exists x, y$ ，使得 $x + y = 0$ B、 $\exists x, y$ ，使得 $y = \ln x$ C、 $\forall x, y$ ，都有 $y + x^{2} - x \geq 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x$ 有最小值

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7、在 $n$ 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，则事件 $A$ 发生的次数 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件 $A$ 首次发生时试验进行的次数 $Y$ ，我们称 $Y$ 从“几何分布”，经过计算 $E (Y) = \frac{1}{p}$ ，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件 $A$ 和 $\bar{A}$ 都发生后停止，此时所进行的试验次数记为 $Z$ ，则 $P (Z = k) = {(1 - p)}^{k - 1} p + p^{k - 1} (1 - p)$ ， $k = 2, 3, \dots$ ，那么下列说法正确的是（）

A、 $P (X = 5) = 5 p {(1 - p)}^{4}$ B、 $P (Y = k) = p {(1 - p)}^{k - 1}$ ， $k = 1, 2, 3, \dots$ C、 $P (Y = 3)$ 的最大值为 $\frac{4}{27}$ D、 $E (Z) = \frac{1}{p (1 - p)} - 1$

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8、设函数 $f (x) = x^{2} - \ln x, g (x) = x - 1$ ，直线 $y = m$ 分别交函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象于点P，Q，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (m, m^{2} - 5)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{5}{2}$ C、-2或 $\frac{5}{2}$ D、2或 $- \frac{5}{2}$

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10、若函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x + 1}, x < 2 \\ \log_{2} x, x \geq 2 \end{cases}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、 $- 3$ B、2 C、3 D、4

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11、若复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，并满足 $i \bar{z} = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1+2i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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12、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} + 1$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ．设圆C与曲线 $y = f (x)$ 交于A、B两点．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1, 0)$ 处的切线方程；

(2)、证明：直线AB的斜率恒大于1；

(3)、若线段AB的中点为m，试判断点m的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论．

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13、已知动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (- 2, 0)$ 的距离和它到定直线 $l : x = - \frac{1}{2}$ 的距离之比是常数 $2$ ．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、若曲线 $C$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $A$ 、 $B$ （ $A$ 在 $B$ 的左侧），过点 $B$ 的直线交曲线 $C$ 于点 $N$ （ $N$ 位于第二象限）， $∠ N F B$ 的角平分线交 $B N$ 于点 $T$ ．
（i）求证：点 $T$ 在定直线上；
（ii）连接直线 $F N$ 且与曲线 $C$ 的另一个交点为 $M$ ，求 $k_{B N}^{2} - k_{T M}$ 的取值范围．

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14、如图，在四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面ABCD是菱形，E为 $B^{'} C$ 中点．

(1)、求证： $A^{'} E //$ 平面 $A D^{'} C$ ；

(2)、若 $|A B| = |A A^{'}| = 4$ ， $| B D | = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D = 60 °$ ，求直线 $A^{'} E$ 与平面ABCD所成角的正弦值．

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15、为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，乙、丙能正确回答每道题的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响．

(1)、求问题1回答正确的概率；

(2)、记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \ln x$ ，若正实数a， $b (a < b)$ 满足 $f (a) = f (b)$ ，则 $3 a + 4 b$ 的取值范围是．

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17、如图，等边 $△ A B C$ 边长为2，点 $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 的中点，连接 $D E$ 并延长至点 $F$ ，使得 $|D E| = 3 |E F|$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C} =$ ．

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18、已知 ${(x + a)}^{8} (a \in R)$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $- 56$ ，则 $a =$ ．

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19、已知a、b、c分别为 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边，且S为 $△ A B C$ 的面积，R为 $△ A B C$ 外接圆的半径，则下列说法正确的是（）

A、 $a b c = 4 R S$ B、边BC上的中线 $m_{a} = \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}$ C、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 \sqrt{3} S$ D、 $\frac{b}{c \sin A} + \frac{1}{\tan B}$ 的最小值为 $\sqrt{3}$

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20、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F$ ， $F$ 到准线 $l$ 的距离为 $2$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ （ $A$ 在第一象限）两点，过点 $A$ 作准线 $l$ 的垂线，垂足为 $N$ ，直线 $N F$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，则（）

A、抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ B、若 $|A F| = 2 |O F|$ ，则 $S_{△ A O F} = 1$ C、若 $|A N| = 4$ ，则 $|A M| = \sqrt{14}$ D、若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{F A}$ ，则直线AB的方程为 $y = \sqrt{3} (x - 1)$

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