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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = - 2 a \ln x + \frac{1}{2} x^{2} + x (1 - 2 a) (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求证： $f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + e^{x} - 2 > 0$ ．

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = \frac{1}{(n - 1) n}$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ，并证明： $\{n S_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $f (x) = S_{1} x + S_{2} x^{2} + S_{3} x^{3} + \dots + S_{n} x^{n}$ ，求 $f^{'} (2)$ ．

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $30 °$ ，抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的焦点 $F$ 在双曲线 $C$ 上，过点 $B (- 2, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、证明：直线 $F M$ 与直线 $F N$ 的斜率之积为定值．

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4、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $A B = A C$ ， $A_{1} B = A_{1} C$ ．

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、若 $A A_{1} = \sqrt{2} A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值．

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5、二项式 ${(2 x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数和为46．

(1)、求n的值及展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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6、将函数 $f (x) = \sin (3 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到奇函数 $g (x)$ 的图像，则 $φ =$ ．

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7、已知 $(2 x + 1) {(x - 2)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ， $(a_{7} \neq 0)$ ，则（）．

A、 $n = 6$ B、 $a_{5} = 108$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7} = 3$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 363$

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8、函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2}$ 在 $(\frac{1}{2}, 2)$ 内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2 \sqrt{e}}, \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{8 \sqrt{e}}, \frac{2}{e^{2}})$ C、 $(\frac{2}{e^{2}}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{8 \sqrt{e}}, \frac{1}{2 \sqrt{e}})$

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9、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）．

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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10、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 3\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x < 0, x \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{x |0 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 2 < x < 5\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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11、如图，已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A C, ∠ A C B = ∠ B A D$ .

(1)、若 $b = c$ ，求 $\frac{C D}{B D}$ 的值；

(2)、若 $\frac{C D}{B D} = 3$ ，求 $tan C$ 的值；

(3)、求 $\frac{c^{2} - B D^{2} + b^{2}}{a^{2} + c^{2}}$ 的取值范围.

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12、每个面都是正多边形的凸多面体称为阿基米德多面体.现从一个棱长为2的正方体的每个角处，切去一个大小相同的正三棱锥，得到一个阿基米德多面体.

(1)、若截得的阿基米德多面体如图所示，求其表面积；

(2)、当截得的阿基米德多面体体积达到最大时：
（i）求此时该多面体的体积和外接球半径；
（ii）该几何体是否存在内切球（与每个面都相切），若有，求出内切球半径，若不存在，请说明理由.

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13、如图，在等腰梯形 $O A B C$ 中， $O A$ $∥$ $C B, O A = 2 A B = 2 B C = 2 O C$ ， $\vec{B M} = λ \vec{B A} (λ ϵ (0, 1)), O M$ 交 $A C$ 于 $P$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，
（i）用 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O M}$ ；
（ii）求 $\frac{|C P|}{|P A|}$ ；

(2)、设 $\vec{O B} = x \vec{C A} + y \vec{O M}$ ，求 $x + y$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 图象上相邻的一个最低点与一个最高点分别为 $(- \frac{π}{12}, - 2), (\frac{5 π}{12}, 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的单调区间.

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15、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 1)$

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量.

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16、如图， $△ S A B$ 为圆锥的轴截面， $A B = 2, S A = 3$ ，则从点 $A$ 出发沿圆锥的侧面再回到点 $A$ 的最短路线的长是.

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17、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = - 1$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} \neq x_{2}$ ，存在常数 $a > 1$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > a$ ，则下列结论中可能成立的是（）

A、 $f (\frac{1}{a}) < \frac{1}{a}$ B、 $f (\frac{1}{a}) > \frac{1}{a - 1}$ C、 $f (\frac{1}{a - 1}) < \frac{1}{a - 1}$ D、 $f (\frac{1}{a - 1}) > \frac{a}{a - 1}$

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18、对于复数 $z, z_{1}, z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z < 0$ ，则 $z^{2} > 0$ B、若 $z^{2} > 0$ ，则 $z \in R$ C、若 $|z_{1}| > |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| > |z_{2}|$

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19、下列说法正确的是（）

A、相等的线段在直观图中仍然相等 B、平行的线段在直观图中仍然平行 C、相等的角在直观图中仍然相等 D、面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等

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20、已知函数 $f (x) = k cos x + 2 x$ 与 $g (x) = {(x + 1)}^{2} - k$ 的图象在 $x \in (- 1, 1)$ 时有且只有一个交点，则 $k =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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