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相关试卷

1、曲线 $f (x) = x ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线的方程为（）

A、 $2 x - y - 2 = 0$ B、 $x - y - 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $3 x - y - 1 = 0$

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2、若数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1}^{2} \geq a_{n + 2} a_{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“对数凹性”数列．

(1)、已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = b_{1} + b_{2} x + b_{3} x^{2} + b_{4} x^{3}$ 有三个零点，其中 $b_{i} > 0 (i = 1, 2, 3, 4)$ ．
证明：数列 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 为“对数凹性”数列；

(3)、若数列 $\{c_{n}\}$ 的各项均为正数， $c_{2} > c_{1}$ ，记 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $W_{n} = \frac{1}{n} S_{n}$ ，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得 $(p - q) W_{r} + (q - r) W_{p} + (r - p) W_{q} = t$ ．
证明：数列 $\{S_{n}\}$ 为“对数凹性”数列．

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3、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - 1$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值；

(2)、求证： $\frac{e^{- x}}{x} + x + \ln x - 1 \geq 0$ ；

(3)、已知 $k (e^{- x} + x^{2}) \geq x - x \ln x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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4、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形， $A B = 4, S A = S C = 2 \sqrt{3}$ ，侧面 $S A C ⊥$ 底面 $A B C, D, E$ 分别为 $A B, S B$ 的中点．

(1)、求证： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、求直线 $S C$ 与平面 $E C D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $E - C D - B$ 的余弦值．

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $B$ ，若 $|A B| = \frac{12 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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6、在概率论中，全概率公式指的是：设 $Ω$ 为样本空间，若事件 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}$ 两两互斥， $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = Ω$ ，则对任意的事件 $B \subseteq Ω$ ，有 $P (B) = P (A_{1}) P (B | A_{1}) + P (A_{2}) P (B | A_{2}) + \dots + P (A_{n}) P (B | A_{n})$ ．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有 $x$ 个白球 $(x \in N)$ 、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于 $\frac{5}{12}$ ，则 $x$ 的最大值为．

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7、把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转 $x$ （ $x$ 为锐角），记表面积增加量为 $S = f (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $S$ 的最大值为 $6 - 4 \sqrt{2}$ D、 $S$ 的最大值为 $3 - 2 \sqrt{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \sin x (x \in [0, π])$ 和函数 $g (x) = \frac{3}{5} \tan x$ 的图象相交于 $A, B, C$ 三点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{π}{5}$ B、 $\frac{2 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{5}$ D、 $\frac{4 π}{5}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 a x - 1, x < 2 \\ {l o g}_{a} (x - 1) + 2 a, x \geq 2 \end{matrix}$ ，则“ $a \geq 2$ ”是“ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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10、如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、若 $\sin (α + β) = \frac{1}{2}$ ， $\tan α = 5 \tan β$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, t), \vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 等于（）

A、5 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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13、若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} = \sqrt{3} - i$ ，则 $|z|$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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14、已知函数 $f (x)$ 为对数函数，并且它的图象经过点 $(2 \sqrt{2}, \frac{3}{2})$ ，函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 b f (x) + 3$ 在区间 $[\sqrt{2}, 16]$ 上的最小值为 $h (b)$ ，其中 $b \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $y = g (x)$ 的最小值 $h (b)$ 的表达式；

(3)、是否存在实数 $m 、 n$ 同时满足以下条件：① $m > n > 4$ ；②当 $h (b)$ 的定义域为 $[n, m]$ 时，值域为 $[n^{2}, m^{2}]$ .若存在，求出 $m 、 n$ 的值；若不存在，说明理由.

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15、某企业现有 $A$ ， $B$ 两条生产线，根据市场调查， $A$ 生产线的利润 $f (x)$ （单位：万元）与投入金额 $x$ （单位：万元）的关系式为 $f (x) = \log_{2} \sqrt{x + 1} + m x + n$ ， $x \geq 0$ ， $B$ 生产线的利润 $g (x)$ （单位：万元）与投入金额 $x$ （单位：万元）的关系式为 $g (x) = x - \log_{2} (32 - x) + p$ ， $0 \leq x < 32$ ．假定 $f (0) = g (0) = 0$ 且 $f (3) = 4$ ．

(1)、求实数 $m$ ， $n$ ， $p$ 的值；

(2)、该企业现有 $22$ 万元资金全部投入 $A$ ， $B$ 两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．

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16、已知函数 $f (x) = \lg [(a^{2} - 1) x^{2} + (a + 1) x + 1]$ .
（1）若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知函数f(x)＝ $\frac{b - 2^{x}}{2^{x} + 1}$ 为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝．

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18、已知正数 $x, y, z$ 满足 $5^{x} = 9^{y} = 15^{z}$ ，则（）

A、 $x z + 2 y z - 2 x y = 0$ B、 $5 x < 9 y < 15 z$ C、 $x y < 2 z^{2}$ D、 $9 x + 2 y < 16 z$

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19、下列命题，其中正确的命题是（）

A、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 4 x + 3}$ 的最小值为2 B、若 $3^{a} = 4^{b} = 36$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的值为1 C、函数 $y = \sqrt{5 + 4 x - x^{2}}$ 的减区间是 $[2, + \infty)$ D、已知 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，若 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b) > f (- a) + f (- b)$

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20、已知定义在R上的函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + 1$ ，在 $(- \infty, 1]$ 上单调递减，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, t + 1]$ ，总有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 2$ ，则实数t的取值范围是（）

A、 $[1, \sqrt{2}]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[1, 3]$

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