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相关试卷

1、如图，已知定点 $B (2, - 2), B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上任意一点， $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E, O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则 $|P D| + |P C|$ 的最小值为.

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2、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 6, S_{5} = 20$ ，则 $S_{7} =$ .

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3、若 $tan (α - \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $tan α =$ .

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4、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高为 $2$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A B = 8$ ，点 $M, N, P$ 均在平面 $B_{1} A C$ 内，且直线 $D_{1} P$ 与 $M N$ 夹角的正切值的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{2 \sqrt{6} π}{3}$ B、直线 $D_{1} A_{1}$ 与 $D_{1} P$ 所成角的正切值的最小值为 $\frac{6}{5}$ C、线段 $P C_{1}$ 的长度的最小值为 $\sqrt{2}$ D、点 $P$ 到直线 $B_{1} C_{1}$ 的距离大于 $\frac{2}{3}$

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5、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (1) = 1, f (x + y) = f (x) f (1 - y) + f (1 - x) f (y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $f (1 - x) = f (1 + x)$ D、 $f (x + 2) = f (x)$

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6、若 $a, b$ 是两个不相等的正实数，则双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ 的（）

A、实轴长相等 B、焦距相等 C、离心率相同 D、渐近线相同

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} a_{n - 1} + a_{n - 2} (n > 2), S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $a_{2026} = 1$ B、 $a_{2026} = 2026$ C、 $S_{2026} = 1$ D、 $S_{2026} = 2026$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - \frac{2}{x} - 1, - 2 \leq x < 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，设 $a, b, c$ 是三个不同的实数，且满足 $f (f (a)) = f (f (b)) = f (f (c))$ ，则 $a + b + c$ 的最小值为（）

A、 $e^{2} - 1$ B、 $e - 1$ C、 $e^{2} - 1 + \frac{1}{e}$ D、 $e - 1 + \frac{1}{e^{2}}$

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9、在钝角 $△ A B C$ 中， $b = 8, c = 7, C = 60^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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10、某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为 $8.5, 8.6, 8.8, 9.2, 9.4, 9.5, 9.7$ ，记为数组 $A$ ，将数组 $A$ 中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组 $B$ ，对这两个数组进行比较，有（）

A、极差相同 B、方差相同 C、 $60 %$ 分位数相同 D、平均数相同

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11、已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $|\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{D B}| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、已知 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a b > 4$ ”是“ $a + b > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、集合 $U = \{x \in Z ∣ |x| \leq 3\}, A = \{0, 1, 2, 3\}$ ，则 $∁_{U} A$ 中的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、复数 $z = (1 + i) (- 1 + 2 i)$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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15、已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{a}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时．
（i）若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ．求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ；
（ii）求证： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) - \frac{n}{2 (n + 1)} (n \in N^{*})$

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16、某设计图案由曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 构成，曲线 $C_{1}$ 是以原点O为中心， $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 为焦点的椭圆，曲线 $C_{2}$ 是满足 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ 的动点P的轨迹，如图所示， $A (x_{0}, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是两条曲线的一个交点，已知 $A F_{1}$ 恰好与曲线 $C_{2}$ 相切．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $A F_{1}$ 与曲线 $C_{1}$ 的另一交点为 $A_{1}$ ，直线 $A F_{2}$ 与曲线 $C_{2}$ 另一交点为 $A_{2}$ ，求 $△ A A_{1} A_{2}$ 的面积；

(3)、作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线 $l$ ，当直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $B, E$ 两点，与曲线 $C_{2}$ 交于 $C, D$ 两点时， $E$ 点关于原点 $O$ 的对称点为 $F$ ，若 $G$ 为 $C D$ 的中点，点 $Q (\frac{5}{3}, 0)$ ，记直线 $Q G$ 和直线 $B F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，问 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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17、三棱锥 $P - A B C$ 中，已知M是PC的中点． $A M = B M = \frac{1}{2} P C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面PBC， $P B = 4, B C = 2$ ．

(1)、证明： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 时，
（i）求PA的长；
（ii）求三棱锥 $M - A B C$ 外接球的表面积．

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18、某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组： $(0 ， 20]$ ， $(20 ， 40]$ ， $(40 ， + \infty)$ 一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．
某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在 $(0 ， 20]$ ， $(20 ， 40]$ ， $(40 ， + \infty)$ ，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率．

(1)、若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；

(2)、在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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19、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边，若 $A, B, C$ 成等差数列， $b^{2} = {(a - c)}^{2} + 4$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $D$ 是 $A B$ 的中点，求 $C D$ 的最小值．

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20、已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为 $\frac{π}{3} . A B$ 是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面 $a$ 与母线SA交于点 $P$ ，当 $B S / / α$ 时， $△ P M N$ 面积的最大值为．

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