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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 4, b = 5, c = 6$ ，则 $sin C =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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2、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'} = 2$ ， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = 90 °$ ，则这个平面图形的周长是（）

A、 $8 + 2 \sqrt{2}$ B、 $8 + 4 \sqrt{2}$ C、 $4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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3、设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $z - \bar{z} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ， i为虚数单位，则复数 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $△ A B C$ 的周长为 $5 + \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $a = 2$ ，过 $B$ 点在 $△ A B C$ 所在平面内作 $B D ⊥ B C$ ，且 $∠ A D B = \frac{2 π}{3}$ ，求线段 $A D + B D$ 的最大值．

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点G，E，F，P分别为棱 $A B$ ， $D_{1} C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点，点M是棱 $A_{1} D_{1}$ 上的一点，且 $M D_{1} = \frac{3}{4} A_{1} D_{1}$

(1)、求证：D，B，F，E四点共面；

(2)、求证： $D_{1} G //$ 平面 $D B F E$ ；

(3)、棱 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在一点N使平面 $P M N //$ 平面 $D B F E$ ？若存在，求 $\frac{A_{1} N}{A_{1} B_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $(c - 2 a) cos B = b (2 cos A - \sqrt{3} sin C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $D$ 是边 $A C$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $a = 2$ ， $B D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线， $a = 2$ ， $B D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $b$ 的长.

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7、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ， $\vec{D E} = 3 \vec{E C}$ ， $\vec{A E} = 3 \vec{A F}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示向量 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ ；

(2)、求向量 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ 夹角的余弦值.

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8、已知复数 $z_{1} = 2 + a i (a \in R), i (1 - z_{2}) = 1$ ．

(1)、求 $z_{2} + \bar{z_{2}}$ ；

(2)、求 $|z_{1} - z_{2}|$ 的最小值；

(3)、若 $z_{1} z_{2}$ 的实部大于 $0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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9、在 $△ A B C$ 中，已知三边之比为 $2 : 3 : 4$ ，则该三角形的最小角的余弦值为．

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10、如图，正四面体 $A B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 的表面上，且球 $O$ 的表面积为 $24 π$ ，则（）

A、 $A B = 4$ B、四面体 $A B C D$ 的体积为 $16 \sqrt{2}$ C、过点 $O$ 且平行于平面 $B C D$ 的平面截四面体 $A B C D$ 所得的截面面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、过 $O, A, C$ 三点的平面截四面体 $A B C D$ 所得的截面面积为 $4 \sqrt{2}$

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11、复数 $z = a^{2} - 4 + (a + 2) i$ ， $a \in R$ ， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则 $a = \pm 2$ B、若 $a = - 1$ ，则 $z \cdot \bar{z} = 10$ C、若 $a = 0$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、若 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限，则 $a < - 2$

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12、已知圆锥 $S O$ 的底面半径为1，母线长为3，圆柱 $O O_{1}$ 的下底面在圆锥 $S O$ 的底面上，上底面圆 $O_{1}$ 的圆周在圆锥 $S O$ 的侧面上，则圆柱 $O O_{1}$ 的侧面积的最大值为（）

A、 $π$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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13、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos B - b \cos A = \frac{3}{5} c$ ，则 $\frac{\tan A}{\tan B}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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14、已知复数z满足 $∣ z - 6 + 8 i ∣ = 5$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则角 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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16、如图所示，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置一个平面图形的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 6, O^{'} C^{'} = 2$ ，则原图形是（）

A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、梯形

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17、若平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} = (1, - 1)$ 方向相反，且 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a} =$ （　　）

A、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(2, - 2)$

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18、已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} + (2 - a) x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 恰有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii） $g (x) = f (x) - k (x^{2} - \frac{2}{a} x)$ 在定义域内单调递增，求 $k$ 与 $a$ 的函数关系式．

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19、甲、乙两人进行比赛，采用三局两胜制，即先胜两局者获胜，比赛结束.已知甲第一局获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，从第二局开始，若甲上一局获胜，则该局甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若甲上一局失败，则该局甲获胜的概率为 $\frac{1}{4}$ ，且每局比赛没有平局．

(1)、求第二局比赛甲获胜的概率；

(2)、设比赛结束甲获胜的局数为X，求X的分布列和数学期望．

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20、已知 ${(x + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、求展开式中所有的有理项．

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