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相关试卷

1、若对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $\frac{2}{x_{1} x_{2}} < \frac{\ln x_{2} - \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ，则 $m$ 的最小值是.

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2、已知直线过点 $A (1, - 1, - 1)$ ，且方向向量为 $(1, 0, - 1)$ ，则点 $P (1, 1, 1)$ 到直线 $l$ 的距离为.

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3、双曲线 $x^{2} - m y^{2} = 1 (m > 0)$ 的右焦点坐标为 $(2, 0)$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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4、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A B$ ， $A D$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $P$ 在表面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - A B D$ 的体积为定值 $\frac{2}{3}$ B、当 $P$ 在线段 $B B_{1}$ 中点时，平面 $E F P$ 截正方体所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$ C、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P G ∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P G$ 长度的最小值是 $\sqrt{6}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45°的点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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5、已知直线 $l_{1} : a x + 3 y - 1 = 0, l_{2} : x + (a - 2) y + 1 = 0$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = 3$ 或 $a = - 1$ C、原点到直线 $l_{1}$ 的最大距离为 $\frac{1}{3}$ D、若 $l_{1}, l_{2}$ 的倾斜角分别为 $α_{1}, α_{2}$ ，且 $α_{2} = 2 α_{1}$ ，则 $a = \frac{6 \pm 3 \sqrt{11}}{7}$

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6、下列关于空间向量的命题中，正确的是（）

A、若空间向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{b}$ B、若非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ ，满足 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} ⊥ \overset{⃑}{c}$ ，则有 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ C、若 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\overset{⃑}{O D} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{O C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点共面 D、若向量 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}, \overset{⃑}{c} + \overset{⃑}{a}$ 是空间的一组基底，则 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ 也是空间的一组基底

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7、已知点 $M (x_{1}, y_{1})$ 在直线 $l_{1} : y = x + 2$ ，点 $N (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $l_{2} : y = x$ 上，且 $M N ⊥ l_{1}$ ， $\sqrt{x_{1}^{2} + {(y_{1} - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - 5)}^{2} + y_{2}^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{11 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{41} - \sqrt{2}$ D、5

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{array}{l} (2 - p) n - 2, n \leq 6 \\ p^{n - 6}, n > 6 \end{array} (n \in N^{*})$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则实数 $p$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{7}{4})$ B、 $(1, \frac{10}{7})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\frac{10}{7}, 2)$

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9、已知 $R$ 上可导函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $x f^{'} (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (1, 2)$ C、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (2, + \infty)$

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10、已知 $A$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $15$ ，到 $y$ 轴的距离为 $12$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $6$ C、 $9$ D、 $12$

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11、几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是平行六面体，底面 $A B C D$ 为矩形，其中 $A B = 1, A D = 2, A A_{1} = 3$ ，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $\sqrt{22}$ D、 $\sqrt{23}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{3} = 6$ ， $a_{9} = 18$ ，则公差 $d$ 为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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13、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的某一项 $a_{k}$ ，若存在 $m \in N^{*}$ ，有 $a_{k} < a_{k + m} (k \in N^{*})$ 成立，则称 $a_{k}$ 具有性质 $P (m)$ .
（1）设 $a_{n} = |n - 3| (n \in N^{*})$ ，若对任意的 $k \in N^{*}$ ， $a_{k}$ 都具有性质 $P (m)$ ，求 $m$ 的最小值；
（2）设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = - 2$ ，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，若对任意的 $k \in N^{*}$ 数列 $\{S_{n}\}$ 中的项 $S_{k}$ 都具有性质 $P (7)$ ，求实数 $d$ 的取值范围；
（3）设数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，当 $n \geq 2 (n \in N^{*})$ 时，存在 $i (1 \leq i \leq n - 1, i \in N^{*})$ 满足 $a_{n} = 2 a_{i}$ ，且此数列中恰有一项 $a_{t} (2 \leq t \leq 99, t \in N^{*})$ 不具有性质 $P (1)$ ，求此数列的前 $100$ 项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的 $t$ 的值.

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14、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n}$ 是 $S_{n}$ 和2的等差中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{k} = a_{k} \cdot (a_{k} + a_{k + 1} + \dots + a_{n}) (1 \leq k \leq n)$ ；
①求数列 $\{b_{k}\} (1 \leq k \leq n)$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
②设 $M (n) = \frac{2}{T_{1}} + \frac{2^{2}}{T_{2}} + \dots + \frac{2^{n}}{T_{n}} (n \in N^{*})$ ，是否存在常数 $c$ ，使 $M (n) < c$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立？若存在，求出 $c$ 的最小值；若不存在，说明理由.

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15、已知函 $f (x) = 3 \cos^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x (ω > 0)$ ．
（1）当 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ 时，求 $ω$ 的值；
（2）当 $ω = 1$ 时，设 $△ A B C$ 的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知 $f (\frac{A}{2}) = 3$ ，且 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [- π,π]$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为零， $a_{1} = 25$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{11}$ ， $a_{13}$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、计算 $\sum_{k = 1}^{20} a_{3 k - 2}$ ．

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的首项均为1，公比 $q > 0$ 且 $q \neq 1$ ，若集合 $\{k ∣ a_{k} = b_{k}\}$ ，则集合元素最多有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、下面关于等差､等比数列的说法正确的是（）

A、前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 2 n + 4$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、证明数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列时，只需证明 $a_{n} = a_{n - 1} q (n \in N, n \geq 2)$ C、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $a_{n - 3}, a_{n - 5}, a_{n - 7} (n \in N, n \geq 8)$ 也一定成等差数列 D、 $a + a^{2} + \dots + a^{n} = \frac{a - a^{n + 1}}{1 - a}$

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20、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 \times 3^{- n} (n \in N^{*})$ ，则这个数列是一个（）

A、以2为首项，以3为公比的等比数列 B、以2为首项，以 $\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列 C、以 $\frac{2}{3}$ 为首项，以3为公比的等比数列 D、以 $\frac{2}{3}$ 为首项，以 $\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列

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