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相关试卷

1、已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆 $\frac{y^{2}}{49} + \frac{x^{2}}{24} = 1$ 有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（）

A、 $3 x \pm 4 y = 0$ B、 $4 x \pm 3 y = 0$ C、 $4 x \pm 5 y = 0$ D、 $5 x \pm 4 y = 0$

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2、已知直线 $l_{1}$ ： $a x - y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $a x + (a + 2) y - 1 = 0 .$ 若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $0$ 或 $- 3$ B、 $- 3$ C、 $0$ D、 $- 1$ 与 $0$

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3、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数．

(1)、若 $\vec{O T} = (- \sqrt{3}, 1)$ 为 $h (x) = m s i n (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量，求实数m的值；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，求当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 时， $s i n x$ 的值；

(3)、已知 $A (- 2, 3)$ ， $B (2, 6)$ ， $h (x)$ 为（1）中函数， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P ，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ ，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

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4、函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2} x + m$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为6．

(1)、求常数m的值；

(2)、把函数 $y = f (x)$ 的图象上各点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = g (x)$ ，求 $g (\frac{π}{6})$ 的值；

(3)、当 $x \in R$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值，以及相应x的集合．

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5、如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F ， G分别是AD ， BC的二等分点．

(1)、EF ， EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论；

(2)、已知对任意平面向量 $\vec{M N} = (x, y)$ ，把 $\vec{M N}$ 绕其起点沿逆时针旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{M P} = (x c o s θ - y s i n θ, x s i n θ + y c o s θ)$ ，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P ．已知正方形ABCD中， $A (1, 2)$ ，点 $B (1 + \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2})$ ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点P ，求点P的坐标．

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6、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C - b - c = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求b ， c的值．

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7、已知 $A (- 3, - 4)$ ， $B (5, - 10)$ ， O为坐标原点．

(1)、求向量 $\vec{A B}$ 的坐标及 $| \vec{A B} |$ ；

(2)、若 $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，求与 $\vec{O C}$ 同向的单位向量的坐标．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， BC ， AC边上的两条中线AM ， BN相交于点P ，则 $c o s ∠ M P N$ 的值是．

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9、已知 $s i n 2 α = - s i n α$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $t a n α$ 的值为．

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10、已知 $| \vec{p} | = 8$ ， $| \vec{q} | = 6$ ， $\vec{p}$ 和 $\vec{q}$ 的夹角是60°，则 $\vec{p} \cdot \vec{q} =$ ．

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11、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ C、若 $\frac{a}{c o s B} = \frac{b}{c o s A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $A = 45 °$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解

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12、把函数 $y = s i n x$ 的图象上各点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则正确的是（）

A、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ B、 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的零点 C、函数 $f (x)$ 是非奇非偶函数 D、 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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13、下列说法错误的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C、直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 D、若用有向线段表示的向量 $\vec{A M}$ 与 $\vec{A N}$ 不相等，则点M与N不重合

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14、已知 $c o s (\frac{π}{4} + x) = \frac{3}{5}$ ， $\frac{17 π}{12} < x < \frac{7 π}{4}$ ，则 $\frac{s i n 2 x + 2 s i n^{2} x}{1 - t a n x} =$ （）

A、 $- \frac{28}{75}$ B、 $\frac{28}{75}$ C、 $- \frac{14}{75}$ D、 $\frac{14}{75}$

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15、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$

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16、已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, m)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $2 \vec{a} + 3 \vec{b} =$ （）

A、 $(4, - 8)$ B、 $(- 4, - 8)$ C、 $(- 4, 8)$ D、 $(4, 8)$

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18、下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = c o s x$ B、 $y = t a n x$ C、 $y = c o s \frac{x}{2}$ D、 $y = | s i n x |$

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19、已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、―2

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20、在四边形ABCD中， $\vec{A B} - \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{D B}$ C、 $\vec{B D}$ D、无法确定

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