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相关试卷

1、已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，点P是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上任意一点，则 $△ P A B$ 面积的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} f^{'} (1) x^{2} + \ln x + \frac{f (1)}{3 x}$ $，$ 则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{33}{4}$

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3、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = x \cdot 2^{x - 1}$ B、 ${(3 e^{x})}^{'} = 3 e^{x}$ C、 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{'} = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$ D、 ${(\frac{x}{\cos x})}^{'} = \frac{\cos x - x \sin x}{{(\cos x)}^{2}}$

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4、复数 $z = \frac{3 - i}{i}$ （i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

A、 $(1,3)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(- 1, - 3)$ D、 $(- 3, - 1)$

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5、下列图形中，可以表示函数 $y = f (x)$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面三角形 $A B C$ 为正三角形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = 2, A A_{1} = 4$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 中点.
（1）求证：直线 $A F / /$ 平面 $B E C_{1}$ ；
（2）求平面 $B E C_{1}$ 和平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值.

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7、设函数 $f (x) = x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 6 x - a$ ．

(1)、求函数F(x)的单调区间．

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有且仅有三个实根，求实数 $a$ 的取值范围．

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8、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A､B两点，且满足 $\frac{| A F |}{| B F |} = 4$ ，点O为原点，则 $△ A O F$ 的面积为.

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9、已知 $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 3$ ，对任意的 $x \in [- 2 ， 2]$ 都有 $f (x) \leq a$ ，则 $a$ 的取值范围为.

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10、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) > - f^{'} (x)$ ，则下列式子成立的是（）

A、 $f (2019) < e f (2020)$ B、 $e f (2019) > f (2020)$ C、 $f (x)$ 是R上的增函数 D、 $t > 0$ ，则有 $f (x) < e^{t} f (x + t)$

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11、【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有相同的焦点 $F$ ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点 $M (- 3 ， t)$ ， $|M F| = \frac{\sqrt{153}}{2}$ 则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12、已知 $M$ 、 $N$ 是椭圆上关于原点对称的两点， $P$ 是椭圆上任意一点，且直线 $P M$ 、 $P N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ( $k_{1} \cdot k_{2} \neq 0$ )，若 $| k_{1} | + | k_{2} |$ 的最小值为 $1$ ，则椭圆的离心率为 $e =$ （）.

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $n S_{n} - S_{n - 1} = (n - 1) (S_{n - 1} + a_{n - 1})$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = (\frac{2}{a_{n}} - 1) \times 3^{n}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{λ n (T_{n} - 3)}{n - 1} \leq (n^{2} + 9) \times 3^{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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14、下列命题正确的是（）

A、命题“ $\forall x, y \in R$ ， $x^{2} + 2 y \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x, y \in R$ ， $x^{2} + 2 y < 0$ ” B、 $f (x) = x - 2$ 与 $g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ 是同一个函数 C、函数 $y = 2 x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[2, + \infty)$ D、若函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[2, 5]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1, 4]$

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15、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、试判断 $g (x) = 2 x^{2} (- 1 \leq x \leq 1)$ 是否为 $f (x) = 1 + sin x (x \in R)$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array} (a \geq 0)$ ，为 $f (x) = {log}_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ ，的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]= 1,[2]= 2,[- 1.2] = - 2$ ．若 $h (x) = a x - [a x], x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}, x \in [0, + \infty)$ 的“2024重覆盖函数”，求正实数 $a$ 的取值范围．

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16、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1, E$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、连接 $D B_{1}$ 交 $B D_{1}$ 于点 $G$ ，求三棱锥 $G - A E C$ 的体积；

(3)、已知点 $F$ 为 $C C_{1}$ 中点，点 $P$ 为平面 $B B_{1} D_{1} D$ 内的一个动点，若 $F P / /$ 平面 $E A C$ ，求 $F P$ 长度的最小值．

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17、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 4, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、求 $∠ E P F$ 的余弦值．

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (ω x + \frac{π}{3}) - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ 上的值域．

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19、球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分几何体叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为 $R$ ，球冠的高是 $h$ ，球冠的表面积公式是 $S = 2 π R h$ ，与之对应的球缺的体积公式是 $V = \frac{1}{3} π h^{2} (3 R - h)$ ．如图2，已知 $C, D$ 是以 $A B$ 为直径的圆上的两点， $∠ A O C = ∠ B O D = \frac{π}{3}, S_{扇形 C O D} = \frac{2}{3} π$ ，则扇形 $C O D$ 绕直线 $A B$ 旋转一周形成的几何体的表面积为，体积为．

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20、勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知 $A B = 2, P$ 为弧 $A C$ （含端点）上的一点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{C P}$ 的范围为．

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