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相关试卷

1、已知曲线 $y = \sqrt{x}$ ，求：

(1)、曲线上与直线 $y = 2 x - 4$ 平行的切线方程；

(2)、求过点 $P (0, 1)$ 且与曲线相切的切线方程.

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2、设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + (a - 3) x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x)$ 是偶函数，则 $a =$ ，

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = - 2 n + 11$ ， $S_{n}$ 是前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $- 2$ 的等差数列； B、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 5$ ； C、数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和是 $T_{n}$ ， $T_{n} = n^{2} - n$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 也是首项为9，公差为 $- 1$ 等差数列

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x + 1$ 在 $(1, 3)$ 上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(2, 18)$ B、 $[2, 18]$ C、 $(- \infty, 2) \cup [18, + \infty)$ D、 $[2, 18)$

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5、自变量 $x$ 从 $x_{0}$ 变到 $x_{1}$ 时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数（）

A、在区间 $[x_{0}, x_{1}]$ 上的平均变化率 B、在 $x_{0}$ 处的变化率 C、在 $x_{1}$ 处的变化量 D、在区间 $[x_{0}, x_{1}]$ 上的导数

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6、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 25$ 与圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 1$ 的公共弦长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{5}$ B、 $\frac{5 \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{11}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = A B = 1$ .则直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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8、已知点 $A (2, 2, - 1)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $B$ ，则 $|A B|$ 等于（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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9、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点坐标为 $(0, \sqrt{5})$ ，离心率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的右焦点 $F$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线 $m$ 分别交直线 $l, x$ 轴， $y$ 轴于点 $M, N, K$ ，求 $\frac{|K N|}{|M N|}$ 的值.

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ．

(1)、求圆O与圆C的外公切线的长；

(2)、过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设 $D (\frac{16}{5}, \frac{8}{5})$ ．
①求 $\frac{| P O |}{| P D |}$ 的值；
②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．

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11、设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点是 $F$ ，左、右顶点分别是 $A_{1}, A_{2}$ ，过 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于 $B, C$ 两点，若 $A_{1} B ⊥ A_{2} C$ ，则双曲线的离心率为．

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12、若直线 $l$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} - a x - a)$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a > - 2$ 时，研究 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \geq 0$ ，当 $x = x_{1}$ 时，函数 $f (x)$ 有极大值m；当 $x = x_{2}$ 时， $f (x)$ 有极小值n，求 $m - n$ 的取值范围.

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14、设直线 $l_{1}$ ： $a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 2) y + a = 0$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a = 3$ 或-1 B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ C、 $l_{2}$ 恒过定点 $(- 2, - 1)$ D、 $l_{2}$ 被圆C截得的弦长最小值为4

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15、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 6$ ， $S_{7} = - 7$ ．则 $S_{n}$ 取得最小值时n的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ；
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明 $\frac{x_{2} - x_{1}}{\ln x_{2} - \ln x_{1}} < 1$ ．

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17、 $(a, b)$ 表示正整数a，b的最大公约数，若 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\} \subseteq \{1, 2, \dots, m\} (k, m \in N^{*})$ ，且 $\forall x \in \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\}$ ， $(x, m) = 1$ ，则将k的最大值记为 $φ (m)$ ，例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (5) = 4$ .

(1)、求 $φ (2)$ ， $φ (3)$ ， $φ (6)$ ；

(2)、已知 $(m, n) = 1$ 时， $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
（i）求 $φ (6^{n})$ ；
（ii）设 $b_{n} = \frac{1}{3 φ (6^{n}) - 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{6}{25}$ .

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18、已知抛物线C：y²＝2px过点P(1，1)．过点 $(0, \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

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19、用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角 $α$ 为多大时，容器的容积最大？

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20、（1）已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，证明： $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；
（2）已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 取得最小值时n值．

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