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相关试卷

1、已知点E为平行四边形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，且 $D E = 2 B E$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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2、若 $tan θ =−2$ ，则 $\frac{1−sin2 θ}{\sqrt{2} sin θ ⋅sin (θ − \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $− \frac{1}{2}$ C、 $− \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (3, 9)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4、在空间直角坐标系中，点 $P (- 1, 2, - 3)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(1, 2, - 3)$ B、 $(- 1, - 2, - 3)$ C、 $(- 1, 2, 3)$ D、 $(1, - 2, - 3)$

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5、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n} + a_{n + 1} = 3 \cdot 2^{n} (n \in N *)$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $4^{b_{1} - 1} 4^{b_{2} - 1} \dots 4^{b_{n} - 1} = a_{n}^{b_{n}}$ ；
①求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；
②若 $b_{2} = 3$ ，设数列 $c_{n} = \frac{b_{n} b_{n + 1}}{a_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 14$ ．

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6、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B$ ， $∠ B A A_{1} = 45 °$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ .
（1）求证： $A A_{1} ⊥ B C$ ；
（2）若 $B B_{1} = \sqrt{2} A B = 2$ ，直线 $B C$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角为 $45 °$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求二面角 $B_{1} - A_{1} D - C_{1}$ 的余弦值.

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7、柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体 $A B C D E F$ ．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（）

A、该正八面体的外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、平面 $A B E$ 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 $\frac{4 π}{3}$ C、甲能构成正三角形的概率为 $\frac{3}{5}$ D、甲与乙均能构成正三角形的概率为 $\frac{2}{35}$

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8、有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法．

A、72 B、144 C、108 D、96

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9、直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 与直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 的夹角为.

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10、设 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{i - 1}{2+i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知定义在 $R$ 上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足 $f^{'} (x) < f (x)$ 且 $f (x + 3)$ 为偶函数. $f (x + 1) - \frac{1}{2}$ 为奇函数，若 $f (9) + f (8) = \frac{3}{2}$ ，则不等式 $f (x) > e^{x}$ 的解集为（　　）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(6, + \infty)$

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12、已知 ${(x + b)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，若 $a_{3} = 40$ ，则 $b =$ .

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13、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{B F_{1}} = 0$ ， $\tan ∠ A B F_{1} = \frac{1}{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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14、函数 $y = x + \sqrt{1 - 2 x}$ 的最大值为.

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15、若圆 $C : x^{2} + y^{2} + m x + 4 y - 1 = 0$ 关于直线 $y = 3 x + 1$ 对称，则 $m =$ ．

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16、已知 $\frac{cos α}{cos α - sin α} = 2$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) - sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{11}{5}$ D、2

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17、椭圆 $\frac{x^{2}}{5} +$ $\frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{31}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$

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18、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + 2 y = 1$ ，则 $2 x + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2} - 1$ C、6 D、8

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19、5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（）

A、18 B、36 C、48 D、60

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，若 $a_{1}, a_{2}, a_{3} + 1$ 成等比数列，则 $a_{4} =$ （）

A、-2 B、4 C、8 D、-2或4

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