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相关试卷

1、某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP， $\overset{⌢}{P Q}$ ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q， $\overset{⌢}{P Q}$ 所对的圆心角为 $\frac{π}{6}$ .记∠PCA＝ $2 θ$ （道路宽度均忽略不计）.

(1)、求新路总长度 $f (θ)$ 的解析式；

(2)、求新路总长度的最小值．

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2、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，横坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，解不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ .

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3、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = 1$ ， $|\vec{e_{2}}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ．

(1)、求 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}}$ ；

(2)、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}}$ ，求 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 的值；

(3)、若 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，求 $|λ \vec{e_{1}} - \vec{c}| (λ \in R)$ 的最小值．

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4、 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 是平面内两个单位向量，它们的夹角为 $60^{\circ}$ ， $|\vec{m} - 2 \vec{n}| =$ .

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5、已知 $P$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 内一点（含边界），且 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A F}$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、 $△ P C D$ 的面积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、存在 $λ$ ，使得 $|\vec{P C}| < |\vec{A P}|$ C、 $\cos ∠ C P D \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $\vec{P C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是 $[0, \sqrt{3}]$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{4} sin 4 x + \frac{1}{4} cos 4 x + \frac{3}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]$ C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若方程 $f (x) + m = 0$ 在 $[0, \frac{5 π}{24}]$ 上恰有一个根，则 $m$ 的取值范围为 $(- 1, - \frac{3}{4}]$

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7、若 $\tan 35 ° = m$ ，则 $\frac{1 + \sin 20 °}{\cos 20 °} =$ （）

A、 $\frac{1 + m}{1 - m}$ B、 $\frac{1 - m}{1 + m}$ C、 $\frac{1}{m}$ D、 $m$

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8、若 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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9、已知 $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则（）

A、A、B、D三点共线 B、A、B、C三点共线 C、B、C、D三点共线 D、A、C、D三点共线

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的终边经过点 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11、 $\sin 37^{\circ} \cos 7^{\circ} - \cos 37^{\circ} \sin 7^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、 $\cos \frac{26 π}{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、设 $a = \frac{2 tan 20 °}{1 - {tan}^{2} 20 °}$ ， $b = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 10 ° + \frac{1}{2} cos 10 °$ ， $c = \sqrt{\frac{1 + cos 140 °}{2}}$ ，则有（）．

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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14、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别是棱 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $C_{1} F ⊥$ 平面 $D D_{1} E$ B、向量 $\vec{A_{1} E}, \vec{B F}, \vec{B_{1} D_{1}}$ 不共面 C、平面 $C E F$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、平面 $C E F$ 截该正方体所得的截面面积为 $\sqrt{29}$

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15、口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{3}$ B、 $P (B |A) = \frac{1}{2}$ C、A与B为互斥事件 D、A与B相互独立

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16、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z^{2}$ 为实数，则z是实数 B、若 $z^{2}$ 为虚数，则z是虚数 C、若 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ ，则 $z_{1} z_{2}$ 是实数 D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, A$ 为 $C$ 的左支上一点， $A F_{1}$ 与 $C$ 的一条渐近线平行.若 $|A F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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18、在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，且 $A B = 5, C E = 3, ∠ A E B = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $B C$ ；

(2)、若动点 $M, N$ 分别在线段 $E A, E B$ 上，且 $△ E M N$ 与 $△ E A B$ 面积之比为 $(\sqrt{2} + 1) : 4$ ，试求 $M N$ 的最小值.

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19、已知：斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥ A C$ ， $A A_{1}$ 与面 $A B C$ 所成角正切值为 $2$ ， $A A_{1} = \sqrt{5}$ ， $A B = B C = \frac{\sqrt{2}}{2} A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，且点 $E$ 向平面 $A B C$ 所作投影在 $△ A B C$ 内．

(1)、求证： $A C ⊥ E B$ ；

(2)、 $F$ 为棱 $A A_{1}$ 上一点，且二面角 $A - B C - F$ 为 $30^{\circ}$ ，求 $\frac{A F}{A A_{1}}$ 的值．

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20、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在线段 $B C$ 上， $A B ⊥ A D$ ， $B D = 3$ ， $C D = 1$ ，点M是 $△ A B C$ 外接圆上任意一点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A M}$ 最大值为.

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