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相关试卷

1、对于函数 $y = f (x)$ ，若在定义域内存在实数x，满足 $f (- x) = - k f (x)$ ，其中k为整数，则称函数 $y = f (x)$ 为定义域上的“k阶局部奇函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，试判断 $y = f (x)$ 是否为 $(- 1, 1)$ 上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；

(2)、若 $f (x) = \log_{3} (x + m)$ 是 $[- 3, 3]$ 上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；

(3)、若 $f (x) = x^{2} - 2 x + t$ ，对任意的实数 $t \in (- \infty, 2]$ ，函数 $y = f (x)$ 恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.

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2、给出以下三个条件：①直线 $x = x_{1}$ ， $x = x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 图象的任意两条对称轴，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ ， ② $f (- \frac{π}{12}) = 0$ ， ③对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \leq |f (\frac{π}{24})|$ ．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数 $f (x) = \sin ω x \cdot \cos ω x + \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $0 < ω < 3$ ， ______．

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于 $x$ 的方程 $g (x) - k = 0$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且只有一个实数解，求实数 $k$ 的取值范围．

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3、（1）已知角 $α$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $(- 3, - 4)$ ，求 $\sin (α + \frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{π}{2} + α) + \tan (2 π - α)$ 的值；
（2）已知 $0 < θ < π$ ， $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin θ - \cos θ$ 和 $\tan θ$ 的值.

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4、（1）计算： ${(\lg 5)}^{2} - {(\lg 2)}^{2} + 8^{\frac{2}{3}} \times \lg \sqrt{2} - {0.6}^{0} + {0.2}^{- 1}$ ；
（2）已知 $16^{a} = 2^{b} = 27$ ，求 $e^{\ln (\log_{2} 9)} \times (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ 的值.

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5、已知函数 $y = (2 m - 1) x^{m} + n - 2$ 是幂函数，一次函数 $y = k x + b$ （ $k > 0$ ， $b > 0$ ）的图象过点 $(m, n)$ ，则 $\frac{4}{k} + \frac{1}{b}$ 的最小值是.

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6、一个扇形的弧长和面积的数值都是 $5$ ，则这个扇形圆心角（正角）的弧度数为 $rad$ .

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x < 8 \\ 11 - x, x \geq 8 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (b) = f (c)$ （ $a < b < c$ ），则 $a b c$ 的取值可能是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{17 π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象的对称中心为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6}, 0)$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减

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9、已知命题 $p : x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \leq - 1$ B、 $1 < x < 2$ C、 $x \geq 4$ D、 $2 < x < 3$

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10、若偶函数 $f (x)$ 对任意 $x \in R$ 都有 $f (x + 3) = - \frac{1}{f (x)}$ ，且当 $x \in [- 3, - 2]$ 时， $f (x) = 4 x$ ，则 $f (2024) =$ （）

A、8 B、 $- 8$ C、12 D、 $- 12$

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11、若 $\tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{6}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $- \frac{5}{7}$ C、 $- \frac{7}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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12、已知 $4 < a < 9$ ， $- 2 < b < - 1$ ，则 $2 \sqrt{a} + b$ 的取值范围是（）

A、 $(2,5)$ B、 $(6,17)$ C、 $(1,3)$ D、 $(- 3, - 1)$

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13、已知 $p : \exists x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + a < 0$ ，若p是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, 4)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $[4, + \infty)$

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14、 $- 1600 °$ 的终边在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、设集合 $A = \{x |x > 1\}$ ， $B = \{x |- 2 < x < 2\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cup B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, 1]$ C、 $(1, 2]$ D、 $(- \infty, 2)$

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16、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是单调函数， $f (x + y) = f (x) + f (y) (x, y \in R)$ ，且 $\forall x < 0, f (x) < 0$ .

(1)、求 $f (0)$ ，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、若存在 $x \in [- 1, 1]$ 使得 $f (16^{x} + 16^{- x}) + f (4^{x} + 4^{- x} + m) < 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、设函数 $f (x) = \cos^{2} x - 2 a \sin x + a + 3 (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的最大值；

(2)、若不等式 $f (x) > 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若方程 $f (x) = 5$ 在 $(0, 2 π]$ 上有四个不相等的实数根，求 $a$ 的取值范围.

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18、已知 $k > 0$ ，函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{1 + k x}{1 - 5 x}$ 是奇函数， $g (x) = 9^{x} - 3^{x + 2}$ .

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0, \frac{1}{6}], \exists x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2}) + m$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利.根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔 $t$ （单位：分钟）满足 $3 \leq t \leq 12$ ，平均每班地铁的载客人数 $p (t)$ （单位：人）与发车时间间隔 $t$ 近似地满足函数关系 $p (t) = \{\begin{array}{l} 2100 - 15 {(9 - t)}^{2}, 3 \leq t < 9, \\ 2100, 9 \leq t \leq 12. \end{array}$

(1)、若平均每班地铁的载客人数不超过1860人，试求发车时间间隔 $t$ 的取值范围；

(2)、若平均每班地铁每分钟的净收益为 $Q = \frac{6 p (t) - 9720}{t} - 100$ （单位：元），则当发车时间间隔 $t$ 为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.

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20、已知集合 $A = \{x |3 - a \leq x \leq 3 + a\}, B = \{x |x \leq 2$ 或 $x \geq 5\}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、“ $x \in A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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