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相关试卷

1、已知 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，且 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ D、 $- \vec{a}$

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2、若 $\frac{z + 2}{z} = i$ ，则 $z (z + 2 i) =$ （）

A、 $2 i$ B、2 C、 $- 1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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3、定义集合运算： $A \oplus B = \{(x, y)| \frac{x}{2} \in A, \frac{2}{y} \in B\}$ .若集合 $A = B = \{x \in N |1 < x < 4\}$ ， $C = \{(x, y) |y = - \frac{1}{6} x + \frac{5}{3}\}$ ，则 $(A \oplus B) \cap C =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{(4, 1)\}$ C、 $\{(1, \frac{3}{2})\}$ D、 $\{(4, 1), (6, \frac{2}{3})\}$

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4、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{a x}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，记函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，求 $f^{'} (0)$ 的值.

(2)、当 $a = 1$ ， $x \geq 1$ 时，证明： $f (x) > \frac{3}{2} cos x$ .

(3)、当 $a \geq 2$ 时，令 $g (x) = e^{x} [a + 1 - f (x)]$ ， $g (x)$ 的图象在 $x = m$ ， $x = n (m < n)$ 处切线的斜率相同，记 $g (m) + g (n)$ 的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的最小值.
（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）.

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5、某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200

(1)、根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？

(2)、现有n $(n \in N^{*})$ 根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当 $n = 3$ ，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为 $\frac{2^{2 n - 1} \cdot n! (n - 1)!}{(2 n)!} .$
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d .$
$P (K^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P A = P D = \sqrt{5}$ ，点E是线段AD的中点， $\vec{C M} = 2 \vec{M P}$ .

(1)、证明： $P E$ //平面BDM；

(2)、求平面AMB与平面BDM的夹角.

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7、某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有种不同的排课方式.（用数字作答）

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a (e^{x - 1} + e^{- x + 1})$ 有唯一零点，则 $a =$

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9、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，设平面 $A B_{1} C_{1} \cap$ 平面 $A B C = l$ ，点 $E, F$ 分别在直线 $l$ 和直线 $B B_{1}$ 上，且满足 $E F ⊥ l, E F ⊥ B B_{1}$ .

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若直线 $E F$ 和平面 $A B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱台的体积.

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10、已知四面体 $A B C D$ 各顶点都在半径为3的球面上，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ，直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角为 $90 °$ ，则该四面体体积的最大值为.

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11、过双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的一个焦点作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是.

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12、对于各数位均不为 $0$ 的三位数 $\bar{a b c}$ ，若两位数 $\bar{a b}$ 和 $\bar{b c}$ 均为完全平方数，则称 $\bar{a b c}$ 具有“ $S$ 性质”，则具有“ $S$ 性质”的三位数的个数为．

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13、设 $a > 1$ ， n为大于1的正整数，函数的定义域为R ， $f (x) - f (y) = a^{y} f (x - y)$ ， $f (1) \neq 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 是增函数 D、 $\frac{f (n + 1)}{f (1)} > a^{n} + n$

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14、连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点数之和为Y，则（）

A、事件“X为奇数”发生的概率 $\frac{1}{8}$ B、事件“ $Y < 17$ ”发生的概率为 $\frac{53}{54}$ C、事件“ $X = 2$ ”和事件“ $Y = 4$ ”相等 D、事件“ $X = 4$ ”和事件“Y＝6”独立

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15、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 2)$ ， $C (2, - 1)$ ， $△ A B C$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，则（）

A、点 $M$ 的坐标为 $(1, - 1)$ B、 $⊙ M$ 的面积是 $5 π$ C、点 $(4, 3)$ 在 $⊙ M$ 外 D、直线 $y = 2 x - 3$ 与 $⊙ M$ 相切

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16、设 $A, B, C$ 三点在棱长为2的正方体的表面上，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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17、某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示， $A$ 点、 $B$ 点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为 $20 m$ ．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成 $43^{\circ} ~ 48^{\circ}$ 的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则 $A$ 、 $B$ 两点在水平方向的距离约为（）

A、 $13 m$ B、 $19 m$ C、 $23 m$ D、 $29 m$

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18、函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{4} + x) \sin x$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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19、衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为 $V_{0}$ ，经过 $t$ 天后体积 $V$ 与天数 $t$ 的关系式为 $V = V_{0} e^{- k t}$ ．若新樟脑丸经过 $50$ 天后，体积变为 $\frac{4}{9} V_{0}$ ，则 $k$ 约为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.6931$ ， $\ln 3 \approx 1.0986$ ）

A、 $0.0162$ B、 $0. 2132$ C、 $0.3012$ D、 $0.5160$

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20、冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型 $W (t) = 2^{r t}$ 来描述累计感染甲型流感病毒的人数 $W (t)$ 随时间t， $t \in Z$ （单位：天）的变化规律，其中指数增长率 $r$ 与基本再生数 $R_{0}$ 和世代间隔T之间的关系近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ ，根据已有数据估计出 $R_{0} = 4$ 时， $T = 12$ ．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至 $W (0)$ 的3倍至少需要（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）（）

A、6天 B、7天 C、8天 D、9天

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性别	速度		合计
性别	快	慢	合计
男生	65
女生		55
合计	110		200

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635