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相关试卷

1、若x，y满足约束条件 $\{\begin{array}{l} x - y + 4 \geq 0, \\ x - 2 \leq 0, \\ x + y - 2 \geq 0, \end{array}$ 且 $z = a x + y$ 的最大值为 $2 a + 6$ ，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (x - 1) e^{x} (a \in R)$ 若对区间 $[0 ， 1]$ 内的任意实数 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ，都有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq f (x_{3})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[e, 4]$ C、 $[1 ， 4]$ D、 $[1 ， 2) \cup [e, 4]$

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3、设 $a = \ln 3$ ，则 $b = \lg 3$ ，则（）

A、 $a + b > a - b > a b$ B、 $a + b > a b > a - b$ C、 $a - b > a + b > a b$ D、 $a - b > a b > a + b$

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4、平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别满足 $\overset{⃑}{A E} = 2 \overset{⃑}{E D}$ ， $\overset{⃑}{D F} = \overset{⃑}{F C}$ ，且 $\overset{⃑}{A F} \cdot \overset{⃑}{B E} = - 6$ ，则向量 $\overset{⃑}{A D}$ 在 $\overset{⃑}{A B}$ 上的投影为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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5、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长和侧棱长都相等， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60^{°}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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6、设 $i$ 为虚数单位， $z$ 为复数，若 $\frac{|z|}{z} + i$ 为实数 $m$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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7、已知边长为4的菱形 $A B C D$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点， $N$ 为平面 $A B C D$ 内一点，若 $A N = N M$ ，则 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{A N} =$ （）

A、16 B、14 C、12 D、8

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8、已知 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}, x \in R)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的表达式是

A、 $2 \cos (\frac{3}{2} x + \frac{π}{4})$ B、 $2 \cos (x + \frac{π}{4})$ C、 $2 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ D、 $2 \cos (\frac{3}{2} x - \frac{π}{4})$

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9、将函数 $y = \sin (3 x + φ)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{9}$ 个单位长度后，得到函数 $f (x)$ 的图象，则“ $φ = \frac{π}{6}$ ”是“ $f (x)$ 是偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、若复数 $z = \frac{5}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D ＝ D C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、证明 $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、证明 $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(3)、求二面角 $C - P B - D$ 的大小.

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12、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过点 $A (0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与椭圆相交于点 $C, D$ 两点．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若 $\vec{B C} = \vec{D A}$ ，求 $k$ 的值：

(3)、若圆心在椭圆上，半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点 $O$ 作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于 $E, F$ 两点，试问 $|O E |^{2} +| O F |^{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C ∥ A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = A D = 2 D C = 2 C B = 2$ ．

(1)、若点 $E$ 为线段 $P D$ 的中点，
①证明： $C E$ ∥面 $P A B$ ；
②求直线 $C E$ 与平面 $P A B$ 间的距离；

(2)、若点 $E$ 为直线 $P D$ 上的动点，当直线 $C E$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥 $E - A C D$ 的体积．

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14、已知圆 $M$ 过 $A (- \sqrt{2}, - \sqrt{2}), B (- 2, 0), C (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 三点．

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若圆 $N$ 与圆 $M$ 关于直线： $x - y + 2 = 0$ 对称，求圆 $N$ 的方程；

(3)、若过点 $P (- 1, \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $E, F$ 两点，且 $|E F| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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15、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n} > 0 (n \in N^{*}), a_{3} = 9, S_{3} = 13$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ 及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = n - 1 (n \in N^{*}), c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $B B_{1}, D_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $E F ⊥ D A_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} D$ 与 $D_{1} B_{1}$ 所成角的大小．

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17、已知圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 1 = 0$ ，圆上恰有两个点到直线 $l : y = x + b$ 的距离都等于1，则 $b$ 的取值范围为．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 1, a_{n + 1} - a_{n} = \frac{4 n^{2}}{(2 n - 1) (2 n + 1)} (n \in N^{*})$ ，则数列通项公式 $a_{n} =$ ．

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19、 $M$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线左右焦点，若 $|M F_{1}| = 5$ ，则 $|M F_{2}| =$ .

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20、如图，棱长均为 $1$ 的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 为平面 $A B C D$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ B、 $\vec{A A_{1}}$ 在 $\vec{A C_{1}}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{3} \vec{A C_{1}}$ C、以 $D_{1}$ 为球心，半径为 $1$ 的球，与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线长为 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$ D、若直线 $D_{1} P$ 与直线 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线

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