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相关试卷

1、在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $A (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $C$ 上，直线 $l : y = x + m (- 1 < m < 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，与 $x$ 轴相交于点 $K$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、将平面 $x O y$ 沿 $x$ 轴翻折，使 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴所确定的半平面与 $y$ 轴负半轴和 $x$ 轴所确定的半平面所成二面角的平面角为 $θ$ ，且 $0 < θ \leq \frac{π}{2}$ ．
①当 $θ = \frac{π}{4}, m = 0$ 时，求翻折后三棱锥 $A - O M N$ 的体积；
②求翻折后 $△ M N K$ 周长的最大值．

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2、已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(2, 1), (- 2, 1)$ ，直线 $A D, B D$ 相交于点 $D$ ，且直线 $A D$ 的斜率与直线 $B D$ 的斜率之差是1，记动点 $D$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F (0, 1)$ 的直线 $l_{1}$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，过 $M, N$ 分别作直线 $l_{2} : y = - 1$ 的垂线，垂足为 $P, Q$ ， $R$ 为 $P Q$ 的中点．
①证明： $M R / / F Q$ ；
②设直线 $F Q$ 与 $N R$ 交于点 $K$ ，记 $△ K M R, △ N P Q$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $S_{1} S_{2} = 32$ 时，求直线 $l_{1}$ 的方程．

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3、下面的三个游戏都是在袋子中装入大小和质地相同的小球，然后从袋子中不放回地取球．

	游戏1	游戏2	游戏3
袋子中球的数量和颜色	2个红球和1个白球	1个红球和2个白球	2个红球和2个白球
取球规则	取1个球	依次取2个球	依次取2个球
获胜规则	取到红球 $\to$ 甲胜	两个球同色 $\to$ 甲胜	两个球同色 $\to$ 甲胜
获胜规则	取到白球 $\to$ 乙胜	两个球不同色 $\to$ 乙胜	两个球不同色 $\to$ 乙胜

(1)、分别计算三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利；

(2)、若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，求甲获胜次数多于乙的概率．

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4、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 14 = 0$ ，直线 $l : (m + 2) x + (m - 1) y + 2 m - 8 = 0$ ．

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点；

(2)、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，求 $m$ 的值以及最短弦长．

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G, H, K, L$ 分别为 $A B, B B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} D, D A$ 各棱的中点.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G H K L$ ；

(2)、求平面 $A_{1} E L$ 与平面 $E F G H K L$ 夹角的余弦值.

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6、在某次活动中，登记的8个数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{8}$ 的平均数为8，方差为16，其中 $x_{1} = 7$ ．后来发现 $x_{1}$ 应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为，方差为．

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7、已知空间三点 $A (1, 2, 1), B (1, 3, 2), C (2, 3, 1)$ ，则以 $A B, A C$ 为邻边的平行四边形的面积为．

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8、已知一条线段的端点分别是 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，关于 $x, y$ 的方程 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) + b (y - y_{1}) (y - y_{2}) = c$ ，则（）

A、当 $a = b \neq 0, c = 0$ 时，方程所表示的曲线是以 $A B$ 为直径的圆 B、当 $a = 1, b = - 1, c \neq 0$ 时，方程所表示的曲线是双曲线 C、存在 $a, b, c$ ，使得方程所表示的曲线是椭圆 D、任意 $a > 0, b > 0, c > 0$ ，方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大于 $\frac{1}{4} π {|A B|}^{2}$

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9、某市举行了一次数学史和趣味数学知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，对本次竞赛学生成绩进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（）

A、 $x = 0.015$ B、此次竞赛成绩低于70的学生比率估计为 $25 %$ C、此次竞赛成绩众数的估计值为75 D、此次竞赛成绩平均数的估计值不超过80

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10、设 $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : x^{2} - y^{2} = 1$ 在第一象限的公共点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C_{1}$ 的左、右焦点，则（）

A、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的焦点相同 B、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ C、 $|P F_{1}| = 3$ D、 $|O P| = \sqrt{2}$

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11、如图，二面角 $α - l - β$ 的棱上有两个点 $A, B$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $l$ ．若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $B D = 3$ ，二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $C D =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，渐近线为 $l_{1}, l_{2}$ ，过 $F$ 且垂直于 $l_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}, l_{2}$ 于 $M, N$ 两点，且 $\vec{F M} = - \frac{1}{2} \vec{F N}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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13、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，则下述正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $A$ 与 $B$ 相等 D、 $A$ 与 $B$ 相互独立

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14、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 的位置关系是（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、相离

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15、从 $1 ～ 9$ 这9个数字中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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16、直线 $\sqrt{3} x - y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 $[20, 70]$ 内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段
类型
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11

(1)、为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)、在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

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18、下列求导不正确的是（）

A、 ${(sin x - sin \frac{π}{6})}^{'} = cos x - sin \frac{π}{6}$ B、 ${[{(2 x + 1)}^{2}]}^{'} = 2 (2 x + 1)$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ D、 ${(2^{x} + x^{2})}^{'} = 2^{x} + 2 x$

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 2$ ，则向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A_{1} C}$ 的夹角是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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20、1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段 $A B$ 与 $C D$ 所在直线异面垂直， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C D$ 的中点，且 $E F ⊥ A B, E F ⊥ C D$ ，线拐子使用时将丝线从点 $A$ 出发，依次经过 $D ､ B ､ C$ 又回到点 $A$ ，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中 $A B = E F = C D = 30 cm$ ，则丝线缠一圈长度为（）

A、 $90 \sqrt{2} cm$ B、 $90 \sqrt{3} cm$ C、 $60 \sqrt{6} cm$ D、 $80 \sqrt{3} cm$

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