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相关试卷

1、已知 $a, b$ 都是正数，若 $2 a + b = 2$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、5 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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2、阅读材料：
某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数 $g (x) = e^{x}$ 和 $φ (x) = \sqrt{x}$ ，它们虽然都是增函数，但是图象却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念：
设连续函数 $f (x)$ 的定义域为区间 $I$ ，
如果 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $I$ 上的凹函数；
如果 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $I$ 上的凸函数．
对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：
若 $f (x)$ 是区间I上的凹函数，则 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in I$ 有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时，等号成立）；
若 $f (x)$ 是区间I上的凸函数，则 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in I$ 有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时，等号成立）．
小组成员询问老师，得到了如下评注：
在运用琴生不等式求含有多个变量的式子的最值问题时，关键是构造函数．
解决下面问题：

(1)、已知A，B，C分别为 $△ A B C$ 的三个内角，直接写出 $\sin A + \sin B + \sin C$ 的最大值（不用写出解题过程）；

(2)、判断二次函数 $f (x) = a x^{2} + x$ 在R上的凹凸性，并说明理由：

(3)、若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 是一组实数，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = k$ （ $k$ 为定值），试求 $a_{1} (a_{1} + 1) + a_{2} (a_{2} + 1) + \dots + a_{n} (a_{n} + 1)$ 的最小值．

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3、已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{4^{x} + 1}$ ，是定义在R上的奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在R上的单调性，并证明你的结论；

(3)、若存在区间 $[m, n]$ ，使得函数 $y = f (x) + t$ 在 $[m, n]$ 上的值域为 $[4^{m}, 4^{n}]$ ，求实数t的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期是 $π$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的图象关于原点对称．

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程；

(2)、若 $x_{1}, x_{2} \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求 $f (x_{1} + x_{2})$ 的值．

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5、某药物研究所发现，病人在服用某种药物 $100mg$ 后，血液中药物的含量 $y$ （单位： $100mg$ ）在0～6小时内随时间 $x$ （单位：h）的变化曲线如图所示．当 $0 \leq x < 1$ 时，可选择用函数 $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos π x$ 来近似地刻画 $y$ 随 $x$ 变化的规律；当 $1 \leq x \leq 6$ 时，可选择用函数 $y = {(\frac{4}{5})}^{x - a}$ （a为常数）来近似地刻画 $y$ 随 $x$ 变化的规律．

(1)、当 $0 \leq x \leq 6$ 时，求这段曲线的函数解析式；

(2)、如果该药物在病人血液中的含量保持在 $50mg$ 以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物 $100mg$ ，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ）

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6、化简求值：

(1)、 ${(2 \frac{7}{9})}^{- \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{8} \cdot 2^{\frac{1}{4}} - \sqrt{{(π - 4)}^{2}}$

(2)、已知 $x \log_{3} 4 + \log_{3} 12 = 3$ ，求 $4^{x} + 4^{- x}$ ．

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7、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x} + 2 x, x \leq 1 \\ x^{2} - (a - 3) x + b, x > 1 \end{array}$ ，若存在实数a（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 2$ ，则实数b的取值范围为.

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8、求值： $\cos 40^{°} (1 - \sqrt{3} \tan 170^{°}) =$ ．

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9、已知 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{3}, \frac{π}{2} < β < \frac{2 π}{3}$ ，则 $α + 2 β$ 的取值范围为．

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10、已知函数 $f (x) = 24 a x^{2} + 4 x - 1, a \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内恰有一个零点，则 $- \frac{1}{8} < a < \frac{5}{24}$ B、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内恰有一个零点，则 $- \frac{1}{8} \leq a \leq \frac{5}{24}$ 或 $a = - \frac{1}{6}$ C、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内有零点，则 $a > - \frac{1}{6}$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内有零点，则 $a \geq - \frac{1}{6}$

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11、下列选项正确的是（）

A、若 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ - \cos θ} = 3$ ，则 $\tan θ = 2$ B、若 $\sin θ = \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin φ = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．且 $\frac{π}{2} < θ < π, \frac{π}{2} < φ < π$ ，则 $θ + φ = \frac{7}{4} π$ C、 $\cos \frac{π}{9} \cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} = \frac{1}{4}$ D、 $(1 + \tan 13 °) (1 + \tan 32 °) = 2$

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12、下列结论不正确的是（）

A、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{1}{3}, 3)$ ，则 $f (x) = x^{- 3}$ B、函数 $f (x) = \log_{a} (x + 2) + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象必过定点 $(- 1, 2)$ C、函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (2 x - x^{2})$ 的单调递增区间是 $(1, + \infty)$ D、函数 $y = \tan (3 x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期是 $\frac{π}{3}$

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13、已知函数 $f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称， $\forall x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(f (x_{1}) - f (x_{2})) (x_{1} - x_{2}) > 0$ 设 $a = f (\log_{2} \frac{1}{3}), b = f (\log_{3} \frac{1}{4}), c = f (\log_{4} \frac{1}{5})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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14、牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{a} = (T_{0} - T_{a}) {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}}$ ，其中h是常数，环境温度是 $T_{a}$ ．若 $T_{a} = 35 ℃$ ，现有一杯 $90 ℃$ 的热水降至 $85 ℃$ 大约用时1分钟，那么水温从 $85 ℃$ 降至 $55 ℃$ ，大约还需要（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30, \lg 11 \approx 1.04$ ）

A、11分钟 B、10分钟 C、9分钟 D、8分钟

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15、若对于任意实数x，不等式 $\cos^{4} x - t \cos^{2} x +3>0$ 恒成立，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4)$ D、 $(- 4, + \infty)$

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16、已知 $a, b \in R$ ， “ $a^{2} < b^{2}$ ”是“ $2^{a} < 2^{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、用弧度制表示与 $2025^{°}$ 角的终边相同的角的集合为（）

A、 $\{α | α = \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ B、 $\{α | α = \frac{3π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ C、 $\{α | α = - \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ D、 $\{α | α = - \frac{3π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$

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18、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{x}{2^{x} - 2^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{x^{3}}{2^{|x|}}$ C、 $f (x) = \frac{x}{2^{x}}$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{|x|}$

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19、命题“ $\forall x \in R, \sin x \leq 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, \sin x > 1$ B、 $\forall x \notin R, \sin x > 1$ C、 $\exists x \in R, \sin x > 1$ D、 $\exists x \notin R, \sin x \leq 1$

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20、已知集合 $A = \{x | - 3 < x \leq 2\}, B = \{y | y = 2 k, k \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{- 2, 0\}$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 2, 0, 2\}$

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