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相关试卷

1、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2} ， C$ 上有一点 $P$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、 $8 \sqrt{5}$ B、20 C、 $8 + 4 \sqrt{5}$ D、16

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3}), \vec{b} = (sin x, cos x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $f (θ) = 0$ ，求 $\frac{2 {cos}^{2} \frac{θ}{2} - sin θ - 1}{\sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4})}$ 的值；

(2)、当 $x \in (0, π)$ 时，求函数 $f (\frac{x + π}{2})$ 的值域.

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3、高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为 $30^{°}$ 、 $60^{°}$ 、 $45^{°}$ ，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (4, 0)$ ，离心率为2， $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左，右顶点，A为双曲线上一点，且 $\vec{A A_{1}} \cdot \vec{A A_{2}} = 48$ ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、设点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 在 $C$ 上．
（ⅰ）若点A在第一象限且直线 $P Q$ 的斜率为－2，求证：直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为定值；
（ⅱ）若 $x_{1} > x_{2} > 0, y_{1} > 0$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $M, N$ 两点， $P Q / / M N$ ，过 $P$ 且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点 $G$ ，若 $|G M| = |G N|$ ．求证： $G, M, N$ 三点共线．

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5、已知直线 $l : m x + y - m = 0$ 过定点 $A$ ，圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ．

(1)、求 $A$ 的坐标，并判断 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系；

(2)、已知 $B (9, 0)$ ，圆 $C$ 上是否存在点 $M$ ，使得 ${|M A|}^{2} + {|M B|}^{2} = 40$ 成立？若存在，求点 $M$ 的个数；若不存在，请说明理由．

(3)、已知平面上的线段 $l_{1}$ 及点 $P$ ，任取 $l_{1}$ 上一点 $Q$ ，线段 $P Q$ 长度的最小值称为点 $P$ 到线段 $l_{1}$ 的距离，记作 $d (P, l_{1})$ ．若 $l_{1}$ 为线段 $A C$ ，求点集 $D = \{P |d (P, l_{1}) \leq 1\}$ 所表示的图形面积．

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6、已知曲线 $Γ$ 上的点 $M$ 到直线 $x + 2 = 0$ 的距离比到点 $F (1, 0)$ 的距离多 $1$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、设点 $N (m, 2)$ 在曲线 $Γ$ 上，过点 $N$ 的直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 相切，且与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，求 $△ O P Q$ （其中 $O$ 为坐标原点）的面积．

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G, H, K, L$ 分别是 $A B, B B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ ， $D_{1} D, D A$ 各棱的中点．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G H K L$ ；

(2)、求平面 $C G H$ 与平面 $E F G H K L$ 夹角的余弦值．

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8、根据新高考改革方案，再选学科以等级赋分计入高考成绩．按照方案，将考生原始成绩从高到低划分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五个等级，各等级人数所占比例分别为 $15 %$ 、 $35 %$ 、 $35 %$ 、 $13 %$ 、 $2 %$ ．为让学生适应新高考的赋分模式，某市在高二的调研考试中对学生的再选学科成绩进行赋分．已知该市本次高二调研考试化学学科考试满分为 $100$ 分，现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取 $100$ 名学生的原始成绩进行分析，其频率分布表如下表所示．
成绩分组
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
频数
$5$
$10$
$20$
$a$
$b$
$10$
频率
$0.05$
$0.1$
$0.2$
$c$
$0.25$
$0.1$

(1)、求出频率分布表中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值，并用样本估计总体的方法估计该市本次化学原始成绩 $A$ 等级中的最低分；

(2)、为充分发挥调研考试的作用，更有效地指导教师的教和学生的学，若采用按比例分层抽样的方法，从原始成绩在 $[40, 50)$ 和 $[50, 60)$ 内的学生中共抽取 $6$ 人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取 $2$ 人进行个案分析，求这 $2$ 人中至少有 $1$ 人原始成绩在 $[40, 50)$ 内的概率．

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9、已知正三棱锥 $S - A B C$ 的侧棱两两垂直， $S A = 3$ ，若空间中的动点 $P$ 到顶点 $S$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则平面 $A B C$ 截点 $P$ 的轨迹所得曲线的周长为．

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10、已知 $P$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 y$ 上的动点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若点 $A (1, 2)$ ，则 $|P F| + |P A|$ 的最小值为．

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11、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的焦距为 $6$ ，则 $m$ 的值为．

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12、已知点 $A (- 1, 0), B (1, 0)$ ，点 $P (x, y)$ 是曲线 $C$ 上任意一点，直线 $P A$ 与直线 $P B$ 的斜率之和为常数 $a (a \neq 0)$ ，则（）

A、曲线 $C$ 经过点 $(2, a)$ B、曲线 $C$ 关于原点对称 C、直线 $y = \frac{a}{2} x$ 与曲线 $C$ 无交点 D、点 $P$ 到原点的距离有最小值

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13、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E, F, G, H$ 分别是 $A B, B C, C D, D A$ 的中点， $M$ 是 $E G$ 和 $F H$ 的交点， $O$ 是空间任意一点，则（）

A、四边形EFGH是平行四边形 B、直线 $A B$ 与 $F H$ 是异面直线 C、直线 $A C$ 与 $B D$ 垂直 D、 $\vec{O M} = \frac{1}{4} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$

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14、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点，则直线 $F C_{1}$ 与 $A E$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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15、如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列说法一定错误的是（）

A、这组数据可能是对称的 B、数据中可能有异常值 C、数据中可能有极端大的值 D、数据中众数可能和中位数相同

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16、已知圆锥的母线所在直线与底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，若该圆锥的母线长为 $2$ ，则其体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ B、 $π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $3 π$

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17、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则甲、乙至少有一人中靶的概率为（）

A、0.02 B、0.26 C、0.72 D、0.98

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18、已知空间向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2, 3)$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 在坐标平面Oxy上的投影向量是（）

A、 $(1,2,0)$ B、 $(1,0,3)$ C、 $(0,2,3)$ D、 $(1,0,0)$

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19、已知复数 $z = \frac{3 - i}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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20、已知常数 $m \in R$ ，设 $f (x) = \ln x + \frac{m}{x}$ ，

(1)、若 $m = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、是否存在 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 依次成等比数列，使得 $f (x_{1})$ 、 $f (x_{2})$ 、 $f (x_{3})$ 依次成等差数列？请说明理由．

(3)、求证：“ $m \leq 0$ ”是“对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ”的充要条件．

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成绩分组	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
频数	$5$	$10$	$20$	$a$	$b$	$10$
频率	$0.05$	$0.1$	$0.2$	$c$	$0.25$	$0.1$