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相关试卷

1、已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则“ $a_{2}, a_{8}, a_{5}$ 依次成等差数列”是“ $S_{3}, S_{9}, S_{6}$ 依次成等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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2、已知函数 $f (x) = {log}_{2} x$ ，不等式 $2^{x^{2} + x} < 4^{3 x - 2}$ 解集为 $M$ ，

(1)、设函数 $g (x) = f (2 x) + x + m$ 在 $x \in M$ 上存在零点，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in M$ 时，函数 $h (x) = [f (x) - a] \cdot f (\frac{x}{4})$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$ ，求实数 $a$ 的值．

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3、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3}) + sin (2 x - \frac{π}{3}) + 2 {cos}^{2} x - 1$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{3π}{8}$ 个单位长度后得到 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x) + 2 cos x$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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4、已知α为第三象限角． $c o s (π + α) = \frac{4}{5}$ ．
（1）由tanα的值；
（2）求 $\frac{2 s i n (π - α) + 3 s i n (\frac{π}{2} - α)}{c o s (- α) + 4 c o s (\frac{π}{2} + α)}$ 的值．

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5、设集合 $A = \{x | \frac{1}{32} ⩽ \frac{1}{2^{x}} ⩽ 4\}$ ， $B = {x | m - 1 ⩽ x ⩽ 2 m + 1}$ .
(1)若 $m = 3$ ，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；
(2)若 $B \subseteq A$ ，求 $m$ 的取值范围，

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6、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为 $2.4 m$ ，筒车转轮的中心 $O$ 到水面的距离为 $1.2 m$ ，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒 $M$ 对应的点 $P$ 从水中浮现（即 $P_{0}$ 时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心 $O$ 为坐标原点，过点 $O$ 的水平直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系 $x O y$ .设盛水筒 $M$ 从点 $P_{0}$ 运动到点 $P$ 时所经过的时间为 $t$ （单位： $s$ ），且此时点 $P$ 距离水面的高度为 $h$ （单位： $m$ ）（在水面下则 $h$ 为负数），则 $h$ 与时间 $t$ 之间的关系为 $h (t) = A sin (ω t + φ) + K (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ .
① $A = 2.4, ω = \frac{π}{10}, φ = - \frac{π}{6}, K = 1.2$ ；
②点 $P$ 第一次到达最高点需要的时间为 $\frac{10}{3} s$ ；
③在转动的一个周期内，点 $P$ 在水中的时间是 $\frac{40}{3} s$ ；
④若 $h (t)$ 在 $[0, a]$ 上的值域为 $[0, 3.6]$ ，则 $a$ 的取值范围是 $[\frac{20}{3}, \frac{40}{3}]$ ；
其中所有正确结论的序号是.

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7、函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x^{2} - 2 x}$ 的单调递增区间为．

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8、在 $[0 ， 2 π]$ 内与角 $- \frac{π}{3}$ 终边相同的角为．

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9、 $f (x)$ 是定义在R上的函数， $f (x + 1) = f (x - 3)$ ，函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，且当 $x \in [1, 3]$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于点 $(2, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 2023$ 对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 3, 1]$ D、 $3 f (x) - x + 2 = 0$ 的实数根个数为6

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10、下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{3}$ B、 $f (x) = 3^{x}$ C、 $f (x) = {log}_{3} x$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x}$

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11、在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当 $0 < x < 2$ 或 $x > 4$ 时， $2^{x} > x^{2}$ ；当 $2 < x < 4$ 时， $2^{x} < x^{2}$ ，请比较 $a = \log_{4} 3$ ， $b = \sin \frac{π}{3}$ ， $c = 2^{- \cos \frac{π}{3}}$ 的大小关系

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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12、已知 $x > 0, y > 0, x + 3 y = 1$ ，若 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y} > m^{2} + 2 m + 4$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $\{m |- 2 < m < 4\}$ B、 $\{m |- 4 < m < 2\}$ C、 $\{m |m < - 4$ 或 $m > 2\}$ D、 $\{m |m < - 2$ 或 $m > 4\}$

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13、下列结论正确的是（）

A、 $- \frac{7 π}{6}$ 是第三象限角 B、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{3 π}{2}$ C、已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (x, 3)$ ，且 $cos θ = - \frac{4}{5}$ ，则 $x = \pm 4$ D、若角 $α$ 为锐角，则角 $2 α$ 为钝角

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14、设集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq 2 x - 1 \leq 3\}$ ，集合 $B$ 为函数 $y = lg (x - 1)$ 的定义域，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[1, 2)$

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x - \cos x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在原点处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 在 $R$ 上的零点个数.

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16、某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．

(1)、设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；

(2)、设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；

(3)、如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．

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17、某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/百人
7
12
13
19
24

(1)、求该学校招生人数 $y$ 与年份序号 $x$ 的相关系数（精确到 $0.01$ ），并判断它们是否具有较强线性相关程度（ $0.75 \leq |r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度较强； $|r| < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度较弱）；

(2)、求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ ．
参考数据： $\sqrt{1740} \approx 41.7$ ．

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18、已知函数 $f (x) = x - \frac{2}{x} - 3 \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in [1, 6]$ ， $f (x) \leq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19、甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为 $X_{n}$ ， $Y_{n}$ ，则 $P (X_{1} \geq Y_{1}) =$ ，若第1轮甲得3分，则 $P (X_{4} > Y_{4}) =$ ．

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20、某班有50名学生，某次数学考试成绩 $X ～ N (100, σ^{2})$ ，若P（90≤X≤110）＝0.4，则估计该班学生数学成绩超过110分的人数为．

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年份序号x	1	2	3	4	5
招生人数y/百人	7	12	13	19	24