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1、下列选项正确的是（）

A、 $sin (x + \frac{2025}{2} π) = cos x$ B、 $\exists α \in R$ ，使 ${sin}^{3} α + {cos}^{3} α > 1$ C、若 $sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}, x \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，则 $cos (\frac{2}{3} π - x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、曲线 $y = sin x$ 与 $y = 2 cos x$ 在 $x \in (- \frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ 有6个交点

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2、下列关于角 $α$ 的说法中，正确的为（）

A、若 $α$ 的终边在 $y$ 轴上，则 $α = k π, k \in Z$ B、若 $α$ 是第二象限角，则 $\frac{α}{2}$ 不是第二象限角 C、若 $tan α = 3$ ，则 $sin α = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、若扇形的圆心角为 $α$ ，半径为2，则该扇形的面积为 $2 α$

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3、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 4^{x} + 2 x - 1$ ，若 $f (x) = - f (x + 2)$ 恒成立，则函数 $g (x) = f (x) - x + 1$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在 $x \in [k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}], (k \in Z)$ 上单调递减 C、当 $x = k π + \frac{π}{6}, (k \in Z)$ 时， $f (x)$ 取得最大值 D、 $f (\frac{π}{2}) > f (\frac{π}{12})$

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5、“ $y = {log}_{(m - 1)} x$ 在定义域内是增函数”是“函数 $f (x) = (m^{2} - 7 m + 13) x^{m}$ 是幂函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知 $a = e^{- 1}, b = {log}_{2} \sqrt{2}, c = x^{2} - x + 1, (x \in R)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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7、记函数 $f (x) = {log}_{2} x - \frac{3}{x}$ 的零点为 $x_{0}$ ，则 $x_{0} \in$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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8、命题“ $\exists x \in R, x^{2} > x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} \leq x$ B、 $\forall x \in R, x^{2} < x$ C、 $\exists x \notin R, x^{2} \leq x$ D、 $\exists x \in R, x^{2} < x$

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9、 $cos (- 1050^{\circ}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10、已知全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $A = \{x \in Z| x^{2} \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, 2\}$

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11、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 4, A A_{1} = 6$ ， E，F分别是棱 $A D, A A_{1}$ 的中点，点G在棱 $D D_{1}$ 上，则下列说法正确的是（）

A、存在点G，使得 $E F ⊥ B G$ B、点B到平面CEF的距离是 $\frac{24 \sqrt{61}}{61}$ C、存在点G，使得 $B G ⊥$ 平面CEF D、过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 $\frac{625 π}{41}$

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12、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4, \sin C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上， $A D = 3, B D = \sqrt{19}$ ，则 $B C =$ （）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、6

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13、帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数 $m, n$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似定义为： $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \cdot \cdot \cdot + b_{n} x^{n}}$ ，且满足： $f (0) = R (0)$ ， $f^{'} (0) = R^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = R^{″} (0)$ ， ……， $f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ，注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ， $f^{'''} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}$ ， $f^{(4)} (x) = {[f^{'''} (x)]}^{'}$ ， $f^{(5)} (x) = {[f^{(4)} (x)]}^{'}$ ， …….已知 $f (x) = ln (x + 1)$ ， $g (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{6 + 4 x}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[2, 1]$ 阶帕德近似为函数 $g (x)$ ，求实数 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、若 $c = 0$ ，设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ， $x = 0$ 是 $h (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、已知 $O$ 为坐标原点，点 $M$ ， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上不同的三点，其中 $M (2, 2)$ ，点 $A$ 在第一象限，直线 $A B$ 与 $O M$ 平行，直线 $A O$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ，直线 $A M$ 与直线 $O B$ 交于点 $Q$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的准线方程；

(2)、求直线 $P Q$ 的方程；

(3)、求 $\frac{| B P |}{| B Q |}$ 的最小值．

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15、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 为 $D D_{1}$ 中点， $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上， $M N / / A B / / A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求证：平面 $A B N M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} N M$ ；

(2)、求平面 $A B N M$ 与平面 $A M B_{1}$ 所成锐二面角的正弦值．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若对于任意的 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ ，都有 $x^{2} f (x) \leq a x - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．
参考数据： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} a_{4} = a_{2}^{2}$ ， $a_{1} + a_{2} = 3$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + \frac{m}{2})}^{2} = 3 + \frac{m^{2}}{4}$ ，两圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B C_{2}$ 面积的最小值为．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{3} =$ ．

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20、函数 $f (x) = sin x + 1$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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