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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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2、已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} + a x - 1 (a \in R) .$

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于x的不等式 $f (x) \leq 0$ ；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为R，求实数a的取值范围.

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3、已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $f (2 x + 1) < 1$ 的解集为 $. ($ 用集合表示 $)$

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4、若 $x > 0$ ，则 $\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x}$ 的最小值是.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{2} x ， x > 0 ， \\ x^{2} - x ， x \leq 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{4})) =$ .

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6、对于分别定义在 $D_{1}$ ， $D_{2}$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 以及实数 $k ， t$ ，若存在 $x_{1} \in D_{1}$ ， $x_{2} \in D_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = k$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (k)$ ；若任取 $x_{1} \in D_{1}$ ，存在 $x_{2} \in D_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) = t$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $P (t) .$ 已知 $f (x) = cos x (x \in [0 ， 2 π])$ ， $g (x) = lg x (x \in [\frac{1}{10} ， 10])$ ，则下面判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (- 2)$ B、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (1)$ C、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $P (0)$ D、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $P (2)$

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7、下列说法正确的是（）

A、钝角都是第二象限角 B、第二象限角大于第一象限角 C、终边落在y轴上的角的集合可表示为 $\{α |α = \frac{π}{2} + k π, k \in Z\}$ D、若 $sin x - cos x > 0$ ，则 $x \in \{x |\frac{π}{4} + 2 k π < x < \frac{5 π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$

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8、下列各组函数中，是相同函数的为（）

A、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = 2^{2 x}$ 与 $g (x) = 4^{x}$ C、 $f (x) = 2 ln x$ 与 $g (x) = ln x^{2}$ D、 $f (x) = cos (- x)$ 与 $g (x) = cos x$

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9、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N}) .$ 它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道宽度W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.当 $\frac{S}{N} \geq 100$ 时，公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式，若将带宽W变为原来的2倍，信噪比 $\frac{S}{N}$ 从100提升到2000，传递速度C变为原来的k倍，则k约为（） $($ 其中 $lg 5 \approx 0.7)$

A、 $3.1$ B、 $3.2$ C、 $3.3$ D、 $3.4$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 ， \\ ln x ， x > 0. \end{array}$ 若方程 $f (x) = k$ 有 $3$ 个实数解，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $[- 2, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x}} - 2^{x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上是减函数 B、是偶函数，且在R上是增函数 C、是奇函数，且在 $[0, + \infty)$ 上是增函数 D、是奇函数，且在R上是减函数

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12、函数 $f (x) = \log_{2} x + x - 4$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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13、已知 $sin (π + x) = - \frac{1}{2}$ ，则 $tan x =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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14、设集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ ， $B = \{x |1 < x < 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{3\}$ C、 $\{1 ， 3\}$ D、 $\{1 ， 3 ， 5\}$

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15、在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，若 $A D = 2$ ， $Q D = Q A = \sqrt{5}$ ， $Q C = 3$ .

(1)、证明：平面 $Q A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - Q D - A$ 的平面角的余弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $B D Q$ 的距离.

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16、已知椭圆的两个焦点坐标分别是 $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ ，并且经过点 $(\frac{5}{2}, - \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若直线 $y = x + 1$ 与椭圆交于 $A$ 、 $B$ 两点，M为 $A B$ 中点，求直线OM斜率．

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17、在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：

(1)、任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；

(2)、任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对的概率.

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18、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $|F_{1} B| = 2 |F_{1} A|, \vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B} = 4 a^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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19、过点 $P (2, 1)$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ ，则直线 $l$ 的方程为.（写出一条方程即可）

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20、已知正四面体 $S - A B C$ ，若平面 $A B C$ 内有一动点 $P$ 到平面 $S A B$ 、平面 $S B C$ 、平面 $S C A$ 的距离依次成等差数列，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、一条线段 B、一个点 C、一段圆弧 D、抛物线的一段

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