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相关试卷

1、定义域为集合 $A$ 的函数 $f (x)$ ，若存在 $t \in A$ ，使关于 $x$ 的方程 $f (x + t) = f (x) + f (t)$ 有解，则不妨称 $f (x)$ 在“ $t$ 处”可拆，且称方程的解为 $f (x)$ 的“ $t$ 可拆点”.

(1)、若 $f (x) = 2^{x}$ ，求 $f (x)$ 的“1可拆点”；

(2)、证明：对任意 $m > - 1, g (x) = ln (x + m)$ 在“2处”可拆；

(3)、是否同时存在实数 $a$ 和正整数 $n$ ，使得函数 $h (x) = cos 2 x - a$ 在 $[0, n π]$ 上恰有5个“ $\frac{π}{6}$ 可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的 $a$ 和 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = a - \frac{1}{2^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (m x^{2}) + f (3 - 2 m x) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
时间 $(t) /$ 年
0
1
2
3
4
年销售数量 $(Q) /$ 万片
100
150
225
337.5
506.25

(1)、在平面直角坐标系中，以 $t$ 为横轴， $Q$ 为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；

(2)、为了描述年销售数量 $Q$ 与时间 $t$ 的关系，现有以下三种数学模型供选择：
① $Q = a t + b$ ② $Q = k a^{t}$ ③ $Q = k {log}_{a} t + b$
（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；
（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）

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4、已知函数 $f (x) = cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} sin \frac{x}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时 $x$ 的值.

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5、（1）计算： ${(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} - π^{0} + \sqrt[3]{- \frac{1}{64}}$ ；
（2）已知 $x \cdot {log}_{3} 5 = 1$ ，求 $5^{x} + 5^{- x}$ 的值；
（3）已知角 $θ$ 的终边过点 $P (4, - 3)$ ，求 $sin (\frac{3 π}{2} - θ) cos (θ + π)$ 的值.

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 - a^{2}) x^{2} + 2 a x - 3, x \leq 1 \\ {log}_{a} x + 1, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形的圆心角的弧度数为 $rad$ .

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8、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

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9、质点 $P$ 和 $Q$ 在以坐标原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发， $P$ 的角速度大小为 $1 rad / s$ ，起点为 $(1, 0)$ ， $Q$ 的角速度大小为 $3 rad / s$ ，起点为 $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ .则当 $P$ 与 $Q$ 重合时， $P$ 的坐标可能为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$

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10、下列关于函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (|x|)$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ D、若 $0 < a < \frac{1}{2}$ ，则方程 $|f (x)| = a$ 有四个不等实数根

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11、已知 $a > b > 0, c > 0$ ，则（）

A、 $a c > b c$ B、 $a^{c} > b^{c}$ C、 $c^{a} > c^{b}$ D、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$

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12、已知函数 $f (x) = tan (x + \frac{π}{3}) - sin x$ ，则在下列区间中，函数 $f (x)$ 一定有零点的是（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[\frac{3 π}{4}, π]$

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13、函数 $f (x) = \frac{3 (x^{3} - x)}{e^{x} + e^{- x}}$ 在 $[- 8, 8]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = k \cdot {log}_{3} \frac{Q}{100}$ （ $k$ 为常数），其中 $Q$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速 $v = 0.5 m / s$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速 $v = 1 m / s$ ，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（）

A、600 B、700 C、800 D、900

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15、已知 $tan α = - 2$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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16、已知 $a = {1.1}^{0.5}, b = {0.5}^{1.1}, c = {log}_{0.5} 1.1$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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17、设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为4的偶函数，当 $x \in [- 2, 0]$ 时， $f (x) = x + 1$ ，则 $f (5) =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、6

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18、已知命题 $p$ ：所有的素数都是奇数；命题 $q$ ：存在一个素数不是奇数.则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 D、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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19、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = \{x ∣ x^{2} + x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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20、（1）已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；
（2）已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π, \tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}, \cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $β$ 的值.

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
时间 $(t) /$ 年	0	1	2	3	4
年销售数量 $(Q) /$ 万片	100	150	225	337.5	506.25