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相关试卷

1、曲线 $y = cos x + sin x$ 在 $(π, - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y + π - 1 = 0$ B、 $x - y - π + 1 = 0$ C、 $x + y + π - 1 = 0$ D、 $x + y - π + 1 = 0$

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2、下列说法中，与“直线 $a$ $∥$ 平面 $α$ ”等价的是（）

A、直线 $a$ 与平面 $α$ 内的任意一条直线都不相交 B、直线 $a$ 与平面 $α$ 内的两条直线平行 C、直线 $a$ 与平面 $α$ 内无数条直线不相交 D、直线 $a$ 上有两个点不在平面 $α$ 内

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3、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = \frac{1}{2}$ ，则公比 $q$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、2 D、 $\pm \frac{1}{2}$

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4、在 $△ A B C$ 中，满足 $c + \sqrt{3} a \sin B - b - a \cos B = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{19}$ ，边BC上的中线 $A D = \sqrt{7}$ ，设点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆圆心．
①求 $△ A B C$ 的周长和面积：
②求 $\vec{A O} \cdot \vec{A D}$ 的值．

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5、已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x, 2 \cos x), \vec{b} = (\sqrt{3} \sin x, \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若 $f (x) = t^{2} - 2 t$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数， $f (- x) = - f (x)$ 恒成立，且 $f (1) = \frac{2}{5}$ ．

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上是增函数：

(3)、解不等式 $f (x - x^{2}) + f (x) < 0$ ．

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 3, \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{3}{2}$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 及 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值；

(2)、设函数 $f (x) = | \vec{a} - x \vec{b} |$ ，求函数 $f (x)$ 的最小值，及对应的实数 $x$ 的值．

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8、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 3, ∠ B A C = 60^{\circ}$ ，点 $D$ 和点 $E$ 分别在边BC和AC上，AD平分角 $A$ ， $A E = C E, A D, B E$ 相交于点 $P$ ，则 $\cos ∠ D P E =$

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9、向量 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2, | \vec{c} | = 1$ ，若存在实数 $t$ ，使得 $\vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ 的取值范围是

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10、已知奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ ，则（）

A、 $g (x) \geq 1$ B、 $\forall x \in R, f (2 x - 1) \leq f (m x^{2})$ 恒成立，则 $0 < m \leq 1$ C、 ${[g (x)]}^{2} \geq {[f (x)]}^{2} + \sin x$ D、 $f (x) f (y) + g (x) g (y) = g (x + y)$

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11、 $x_{1}, x_{2}$ 为函数 $f (x) = | \ln x | - a$ 的两个零点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = 1$ B、 $x_{1} + x_{2} > 2$ C、 $x_{1} + 2 x_{2}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 x_{1} + x_{2}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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12、若 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (\frac{5 π}{3} - α) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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13、下列函数中，是奇函数且在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $g (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ C、 $h (x) = x - \frac{1}{x}$ D、 $φ (x) = \sin x$

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14、已知等边 $△ A B C$ 的边长为 $1, \vec{B C} = \vec{a}, \vec{C A} = \vec{b}, \vec{B A} = \vec{c}$ ，那么 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、若向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, - x), \vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 4$ D、4

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B = B C = 1, ∠ A B C = 120 °, P A = A C$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、求 $B D$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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17、学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有（）

A、7种 B、8种 C、9种 D、10种

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18、已知集合 $M = \{θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}\}$ ， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f_{n} (x) = \sin^{2} (x - θ_{1}) + \sin^{2} (x - θ_{2}) + \dots + \sin^{2} (x - θ_{n})$ .

(1)、当 $M = \{0, \frac{π}{2}\}$ 时，证明：函数 $f_{2} (x)$ 是常数函数；

(2)、已知 $M \subseteq \{θ | θ = \frac{k π}{9}, k \in N, k \leq 9\}$ ，写出所有使函数 $f_{3} (x)$ 是常数函数的集合 $M$ ；

(3)、当 $n$ 为奇数时，写出函数 $f_{n} (x)$ 是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

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19、已知 $\sin (α + β) = \frac{2}{3}, \sin (α - β) = \frac{1}{5}$ ．则 $\frac{\tan α}{\tan β} =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = k a^{x} - a^{- x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是奇函数，且 $f (1) > 0$ ．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；

(3)、求不等式 $f (x^{2} + 2 x) + f (x - 4) > 0$ 的解．

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