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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、常数数列既是等差数列也是等比数列 B、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则 $\{2^{a_{n}}\}$ 为等比数列 C、若 $S_{n} = 3^{n - 1} - 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 D、若 $a_{1} = 10$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 17 - 2 n ， (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2 k - 1} = 12 - 2 k (k \in N^{*})$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} (3 - 2 a) n - 3, n \leq 7 \\ {(2 a)}^{n - 6}, n > 7 \end{cases} (n \in N^{*})$ ，且数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $[1, \frac{3}{2})$ C、 $[\frac{9}{8}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

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3、已知函数 $f (x)$ 的图象如图， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列结论正确的是（       ）
① $f^{'} (3) > f^{'} (2)$              ② $f^{'} (3) < f^{'} (2)$
③ $f (3) - f (2) > f^{'} (3)$        ④ $f (3) - f (2) < f (1)$

A、①③ B、②③ C、②④ D、②③④

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4、设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{3} = 4$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 6$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{19}{10}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{19}{6}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为正项等比数列， $a_{5} a_{6} a_{7} = 27$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{11}$ 的值为（）

A、10 B、11 C、15 D、16

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6、若 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且 $f^{'} (a) = - 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a - Δ x) - f (a)}{2 Δ x} =$ （）

A、－2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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7、用数学归纳法证明“ $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ”时，由 $n = k (k \in N^{*})$ 的假设证明 $n = k + 1 (k \in N^{*})$ 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）

A、 $\frac{1}{6} k (k + 1) (2 k + 1)$ B、 $\frac{1}{6} k (k + 1) (2 k + 3)$ C、 $\frac{1}{6} (k + 1) (k + 2) (2 k + 3)$ D、 $\frac{1}{6} k (k + 1) (2 k + 1) (2 k + 3)$

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8、已知2既是2m与n的等差中项，也是m与2n的等比中项，则m，n的等比中项为（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 前4项为1，3，6，10，则第10项为（）

A、28 B、30 C、44 D、55

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10、设函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $g (x) = \ln \frac{m e^{x} - x^{2}}{x + 1} (x > 0)$ ，若 $g (x) - 1 \geq x + x^{2} - m e^{x}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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11、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x) = \frac{2 x + 4}{e^{x}} - f (x)$ ，且 $f (- 4) = e^{4}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) - m < 0$ 仅有 $1$ 个整数解，则实数 $m$ 的取值范围是

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12、某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修．已知某班级a名学生对科目的选择如表所示，则 $a, b$ 的一组值可以是．
科目
国际金融
统计学
市场管理
历史
市场营销
会计学
人数
24
28
14
15
19
b

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13、算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 $A =$ “表示的四位数能被3整除”， $B =$ “表示的四位数能被5整除”，则（）

A、 $P (A) = \frac{3}{8}$ B、 $P (B) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A \cup B) = \frac{11}{16}$ D、 $P (A B) = \frac{3}{16}$

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14、 ${(x^{2} - x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、30 B、 $- 30$ C、20 D、 $- 20$

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15、已知a为实数，则“ $a + \frac{1}{a} \geq 2$ ”是“ $0 < a \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，则 $\vec{P D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$

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17、已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则复数 $z^{2} - 8 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、设集合 $P = \{x |{log}_{2} x < 2\}$ ， $Q = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，那么 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |0 < x < 3\}$ C、 $\{x |- 3 < x < 1\}$ D、 $\{x |0 < x < 1\}$

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19、如图，圆E的圆心为 $E (- \sqrt{3} ， 0)$ ，半径为4， $F (\sqrt{3} ， 0)$ 是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 $C .$

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线 $x = 4$ 于点T，连结AT交曲线C于点 $Q .$ 直线AP、AQ的斜率分别为 $k_{A P}$ 、 $k_{A Q} .$
（i）求证： $k_{A P} \cdot k_{A Q}$ 为定值；
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

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20、极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，极点 $P (x_{0}, y_{0})$ （不是坐标原点）对应的极线为 $l_{P} : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $6 \sqrt{2}$ ，左焦点与抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的焦点重合，对于椭圆 $E$ ，极点 $P (- 6, 0)$ 对应的极线为 $l_{P}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在极线 $l_{P}$ 上任取一点 $Q$ ，设直线 $M Q$ ， $N Q$ ， $P Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ （ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 均存在）.

(1)、求极线 $l_{P}$ 的方程；

(2)、求证： $k_{1} + k_{2} = 2 k_{3}$ ；

(3)、已知过点 $Q$ 且斜率为2的直线与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点分别为 $C$ ， $D$ ，证明直线 $C D$ 恒过定点，并求出定点的坐标.

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