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相关试卷

1、已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数，复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = \bar{z} + 1$

(1)、求 $|z|$ 的值；

(2)、在复平面内，若 $z_{1} = \bar{z} - \frac{3}{m} + (m^{2} - 3 m + 1) i$ 对应的点在第三象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为单位向量，设向量 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $|\vec{e_{1}} - \frac{1}{2} \vec{e_{2}}| \leq 1$ ，求 ${cos}^{2} θ$ 的取值范围.

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3、瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数， $i$ 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求 $|e^{θ i} - e^{\frac{π}{2} i}|$ 的最大值为.

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} + 2 \vec{a})$ ，则 $x =$ .

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5、已知锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，下列命题正确的是（）

A、“ $\sin A > \cos B$ ”是“ $A + B > \frac{π}{2}$ ”的必要不充分条件 B、若 $a^{2} \tan B = b^{2} \tan A$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A}$ 的取值范围 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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6、已知单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ (0 < θ < π)$ ，若平面向量 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} (x, y \in R)$ ，有序实数对 $(x, y)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在“仿射”坐标系 $x O y$ （ $O$ 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记 $\vec{a} = {(x, y)}_{θ}$ ，则下列命题正确的是（）

A、已知 $\vec{a} = {(x_{1}, y_{1})}_{θ}, \vec{b} = {(x_{2}, y_{2})}_{θ}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} = {(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})}_{θ}$ B、已知 $\vec{O A} = {(1, 0)}_{\frac{π}{3}}, \vec{O B} = {(0, 1)}_{\frac{π}{3}}$ ，则线段 $A B$ 的长度为1 C、已知 $\vec{a} = {(2, - 1)}_{\frac{π}{3}}, \vec{b} = {(1, 2)}_{\frac{π}{3}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、已知 $\vec{a} = {(x, y)}_{\frac{π}{3}}, |\vec{a}| = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7、已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数，复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z} - 1}{z + i} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ ，则下列正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $|z| = \sqrt{5}$ C、 $\frac{\bar{z}}{1 - 2 i}$ 是纯虚数 D、若 $z$ 是方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p + q = 18$

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c, sin C = 2 sin B$ ， $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 依次是边 $B C$ 的四等分点（ $M_{1}$ 靠近 $B$ 点），记 $d_{1} = \vec{A M_{1}} \cdot \vec{A M_{2}}, d_{2} = \vec{A M_{1}} \cdot \vec{A M_{3}}, d_{3} = \vec{A M_{2}} \cdot \vec{A M_{3}}$ ，则（）

A、 $d_{3} > d_{2} > d_{1}$ B、 $d_{3} > d_{1} > d_{2}$ C、 $d_{1} > d_{3} > d_{2}$ D、 $d_{1} > d_{2} > d_{3}$

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9、 $D$ 是 $Rt △ A B C$ 斜边 $B C$ 上一点，若 $A B = A D, A C = \sqrt{3} D C$ ，则 $sin ∠ A B C$ 的值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{c}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{c} = 1, \vec{b} \cdot \vec{c} = - 3, |\vec{a} + \vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{7}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, B C = 6, A C = 7$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{15}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $6 \sqrt{6}$

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12、已知正三角形 $A B C$ 的边长为1，则 $|\vec{A C} - \vec{C B}|$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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13、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, 1)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2, - 4), \vec{e_{2}} = (- 1, 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (- 2, 3), \vec{e_{2}} = (4, 2)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (1, - \frac{3}{2})$

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14、已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(- 1, 2)$ ，则 $(1 + i) \cdot z =$ （）

A、 $- 3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $- 1 - 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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15、已知 $a > b > 0$ 且 $a b = 10$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $lg a + lg b > 0$ B、 $lg a - lg b > 0$ C、 $lg a \cdot lg b < \frac{1}{4}$ D、 $\frac{\lg a}{\lg b} > 1$

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16、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之和 $b_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积 $c_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n}$ ，且 $b_{n} + c_{n} = 1$ ．

(1)、求证： $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 为等差数列，并分别求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{a_{n} \cdot b_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，不等式 $S_{n} > \frac{1}{λ} + λ - \frac{13}{6}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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17、定义：若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 满足 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0$ ，则称 $A, B$ 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 $[A, B]$ .已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 过点 $A (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求“共轭点对” $[A, B]$ 中点 $B$ 所在直线 $l$ 的方程；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，点 $P, Q$ 在椭圆 $C$ 上， $P Q$ $/ /$ $O A$ ，（2）中的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $B_{1}, B_{2}$ ，且 $B_{1}$ 点的纵坐标大于 $0$ ，设四点 $B_{1}, P, B_{2}, Q$ 在椭圆 $C$ 上逆时针排列.证明：四边形 $B_{1} P B_{2} Q$ 的面积小于 $8$ .

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18、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C$ 的圆心在直线 $y = 1$ 上，且过点 $A (4, 3), B (2, 1)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知第二象限内的点 $D$ 在圆 $O$ 上，过点 $D$ 作圆 $O$ 的切线 $l_{1}$ 恰好与圆 $C$ 相切，求 $l_{1}$ 的斜率；

(3)、判断是否存在斜率为1的直线 $l_{2}$ 与圆 $O$ 交于点P，Q，与圆 $C$ 交于点M，N，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，若存在，求出 $|P Q|$ ；若不存在，请说明理由．

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = a_{1}^{2} a_{2}, a_{4} = 128$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n} \log_{2} a_{n + 1}}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = \frac{10}{21}$ ，求正整数 $n$ 的值．

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20、已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右顶点， $|A B| = 2$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上第二象限内的点，设直线 $A P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B P$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 3$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为；当 $k_{1} + 2 k_{2}$ 取得最大值时，则点 $P$ 的纵坐标为．

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