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相关试卷

1、 $A_{5}^{3} + A_{3}^{2} =$ （）

A、8 B、13 C、63 D、66

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2、甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中 $0 < p < 1$ .

(1)、记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列；

(2)、记 $P_{1}$ 为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率， $P_{2}$ 为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若 $P_{1} > P_{2}$ ，求p的取值范围.

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3、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{A E}, \vec{A_{1} F} = \vec{F D_{1}}, \vec{C_{1} G} = \vec{G D_{1}}$ ， $A B = \sqrt{2} B C = 2 C C_{1} = 4$ .

(1)、证明：平面 $C E F ⊥$ 平面 $A_{1} D G$ ；

(2)、求二面角 $D - C F - E$ 的正弦值.

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4、某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了20名同学分成 $A, B$ 两个小组进行了相关测试（满分为100分），测试结束后统计成绩如下表：
A
76
78
83
84
85
90
92
95
98
99
B
63
72
73
75
80
81
84
85
92
99

(1)、分别计算A组成绩的极差和B组成绩的第30百分位数；

(2)、若对于本次测试，规定：成绩 $\geq 90$ 分时为优秀，从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生，用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望.

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5、定义在R上的函数 $f (x)$ 满足对于任意实数 $x, y$ 均有 $f (x y) = y f (x)$ ，且 $2 f (2) = f (1) + 6$ ，则 $f (2025) =$ .

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6、一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为.

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7、已知曲线 $y = e^{2 a x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线斜率为 $- \frac{4}{3}$ ，则 $a =$ .

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8、某汽车零件制造厂使用最新技术对某款汽车零件制造工艺进行改进，抽取部分汽车零件由智能检测系统进行筛选，其中部分次品汽车零件会被淘汰，筛选后的汽车零件进入流水线由工人进行检验.记事件 $A :$ “抽取的某汽车零件通过智能检测系统筛选”，事件 $B :$ “抽取的某汽车零件经人工检验后合格”，且改进生产工艺后，这款汽车零件的抗压质量指标 $ξ$ 服从正态分布 $N (5.40, {0.05}^{2})$ ，现从中随机抽取M个，这M个汽车零件中恰有m个的抗压质量指标 $ξ$ 位于区间 $(5.35, 5.55)$ ，则（）
参考数据： $P (μ - σ < ξ \leq μ - σ) \approx 0.6826, P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9974$

A、 $P (B |A) > P (B)$ B、 $\frac{P (A B)}{P (B)} > \frac{P (A \bar{B})}{P (\bar{B})}$ C、 $P (5.35 < ξ < 5.55) \approx 0.72$ D、当 $P (m = 45)$ 取得最大值时，M的估计值为53

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9、已知方程组 $\{\begin{cases} | 25 + 20 i - z | = 5 \\ | z - 4 - k | = | z - 3 i - k | \end{cases}$ 有且仅有一个复数解z，则实数k的可能取值有（）

A、 $\frac{23}{8}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{123}{8}$ D、 $\frac{65}{4}$

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10、现用 $0, 1, 2, 3, 4$ 共5个数字组成四位数，则（）

A、可以组成84个无重复数字的四位数 B、可以组成404个有重复数字的四位数 C、可以组成54个无重复数字的四位偶数 D、可以组成120个百位为奇数的四位偶数

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11、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{2 n} = 2 a_{n} - 1$ ， $S_{2 n - 1} = 2 a_{n + 1} - 1$ ，则 $a_{2049} =$ （）

A、 $2 \times 12^{4}$ B、 $3 \times 12^{4}$ C、 $6 \times 12^{5}$ D、 $5 \times 12^{5}$

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12、研究表明某生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（ $t \geq 0$ ，单位：年）的关系近似的符合 $Q (t) = \frac{m e^{t}}{e^{t} + 7}$ ，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只.则该生物种群数量的增长速度（）

A、先增大后减小 B、先减小后增大 C、逐年减小 D、逐年增大

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13、已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（）

A、 $3 π$ B、 $6 π$ C、 $1 2π$ D、 $18 π$

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14、二项式 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中含 $x^{4}$ 项的系数为（）

A、 $- 80$ B、80 C、 $- 40$ D、40

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15、某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（）

A、72 B、54 C、48 D、36

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16、已知 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1$ 上一点，则C的焦距为（）

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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17、已知离散型随机变量X的分布列为 $P (X = i) = a i^{2} (i = 1, 2, 3)$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{13}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{1}{15}$

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18、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b \sin B - c \sin C + (c - a) \sin A = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、如图， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点D，且 $a = 3$ ， $c = 4$ ，
（i）求 $B D$ 的长度；
（ii）若 $A B$ 边上的中线 $C E$ 与 $B D$ 相交于点F，求 $∠ D F E$ 的余弦值．

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19、某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.

(1)、求甲第二次答题通过初赛的概率；

(2)、求乙通过初赛的概率；

(3)、求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.

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20、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A B = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、若三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A A_{1}$ ．

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