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相关试卷

1、如果一个函数 $f (x)$ 在其定义区间内对任意 $x$ ， $y$ 都满足 $f (\frac{x + y}{2}) \leq \frac{f (x) + f (y)}{2}$ ，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x}$ B、 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \log_{2} x (x > 0)$ D、 $f (x) = \{\begin{matrix} x, x < 0 \\ 2 x, x \geq 0 \end{matrix}$

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2、已知 $A, B, C, D$ 为球 $O$ 的球面上的四个点，圆 $O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆．若圆 $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $D A = D B = D C = A B = B C = A C$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $3 \sqrt{2} π$ B、 $9 \sqrt{2} π$ C、 $18 π$ D、 $18 \sqrt{2} π$

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3、某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{5} = 1$ ， $S_{11} = - 11$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、16 B、18 C、23 D、25

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5、已知 ${(1 + 2 x)}^{7}$ 的展开式的第4项展的系数为（）

A、70 B、84 C、140 D、280

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6、若 $\bar{z} (1 - i) = 1 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $i$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7、已知集合 $M = {x ∣ \lg x > 0}, N = {x ∣ 0 ⩽ x ⩽ 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $[0, 4]$ C、 $(1, 4]$ D、 ${1, 4}$

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8、已知 $a = {log}_{1.6} 0.8, b = {1.6}^{0.8}, c = {0.8}^{1.6}$ ，则实数 $a, b, c$ 的大小顺序为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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9、对于两个平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，如果有 $\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} > 0$ ，则称向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的“迷你向量”．

(1)、若 $\vec{m} = (1, x)$ ， $\vec{n} = (2, 1 - x)$ ， $\vec{m}$ 是 $\vec{n}$ 的“迷你向量”，求实数x的取值范围；

(2)、一只蚂蚁从坐标原点 $O (0, 0)$ 沿最短路径爬行到点 $N (n, n)$ 处（ $n \in N$ 且 $n \geq 2$ ）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为 $P_{i} (1 \leq i \leq 2 n)$ ，设 $M (n - 1, 0)$ ．记事件 $T =$ “蚂蚁经过的路径中至少有n个 $P_{i}$ 使得 $\vec{O M}$ 是 $\vec{O P_{i}}$ 的迷你向量”．（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①写出从坐标原点 $O (0, 0)$ 沿最短路径爬行到点 $A (3, 1)$ 的所有路线（如：右右右上）一般地，总数n步中恰有m步向上走其余各步向右走的方法总数为： $C_{n}^{m} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - m + 2) \cdot (n - m + 1)}{m \cdot (m - 1) \cdot (m - 2) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1}$
②当 $n = 3$ 时，求 $P (T)$ ；
③证明： $P (T) \leq \frac{1}{2^{n - 1}}$ ．

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，PC垂直平面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A B$ ∥ $C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $P C = A B = 2$ ， E是线段PB上的动点．

(1)、证明： $A C ⊥ C E$ ；

(2)、求二面角 $P - A B - C$ 的正弦值；

(3)、若 $P D$ ∥平面 $A C E$ ，求点E的位置．

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11、复数z满足 $z^{2}$ 为纯虚数，复数z在复平面内所对应的点在第一象限．

(1)、已知 $|z| = 2$ ，求复数z；

(2)、已知 $z = 1 + i$ ，复数 $z, \bar{z}, z^{2}$ 所对应的向量为 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，已知 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{b} + \vec{c})$ ，求λ的值．

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12、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ，将 $△ B A C$ 沿直线 $A C$ 翻折至 $△ B_{1} A C$ 的位置，当三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的体积最大时，则三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的外接球的半径为．

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13、已知 $a, b \in R$ ， $a + b i = i^{4} - 3 \cdot i^{2025}$ （i为虚数单位），则 $a + 2 b =$ ．

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14、已知 $\vec{a} = (x, - 2)$ ， $\vec{b} = (5, - 7)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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15、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方体的中心，M为 $D D_{1}$ 的中点，F为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F //$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、三棱锥 $D_{1} - D C B$ 的外接球表面积为 $12 π$ B、动点F的轨迹的线段为 $2 \sqrt{2}$ C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ D、若过A、M、 $C_{1}$ 三点作正方体的截面Ω，Q为Ω上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度最大值为 $2 \sqrt{3}$

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16、若 $m$ ， $n$ 为空间中两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ∥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$

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17、若复数z满足 $z = 1 - i$ ，则z的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、 $- i$

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $P D$ 上， $P B //$ 平面 $A E C$ .

(1)、证明： $E$ 为 $P D$ 的中点；

(2)、若 $A B = 2$ ，二面角 $C - A E - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{4}$ ，求 $P A$ 的长.

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19、如图1，图2，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A B$ 的中点．

(1)、图1中求证： $A C_{1} / /$ 平面 $M B_{1} C$ ；

(2)、图1中求二面角 $A_{1} - C M - A$ 的正切值；

(3)、图2中，已知 $A B = 2$ ， $N$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $D_{1} N$ 上的动点，过 $M C$ 且与 $D P$ 垂直的截面 $α$ 与 $D P$ 交于点 $E$ ，求三棱锥 $P - M C E$ 的体积的最小值．

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20、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，且 $\sin A = 2 \sin B$ ， $2 - b \cos C = c \cos B$ ．

(1)、求b；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $2 \vec{B D} = \vec{D A}$ ，求 $|\vec{C D}|$ 的取值范围.

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