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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x - a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $x \in [2, 3]$ 时，如果曲线 $y = f (x)$ 恒在 $x$ 轴上方，求 $a$ 的取值范围.

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2、设 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，求：

(1)、 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{5}$ ；

(2)、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{5}|$ ；

(3)、 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + a_{5})}^{2}$ ．

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3、若 ${(x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的二项展开式中第 $3$ 项和第 $5$ 项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为

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4、若函数 $f (x) = 2 \ln x - x^{2} + m$ 在 $[\frac{1}{e}, e^{2}]$ 上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{e^{2}} + 1$ D、 $\frac{1}{e^{2}} + 2$

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5、对于 ${(x^{2} - \frac{3}{x})}^{6}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、所有项的二项式系数和为64 B、所有项的系数和为64 C、常数项为1215 D、二项式系数最大的项为第3项

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6、在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 为斜边 $A C = 2 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，顶点S在底面 $A B C$ 上的射影为 $A C$ 的中点．若 $S A = 2$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的一个动点，则 $S E + C E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 (\sqrt{3} + 1)$ D、 $2 (\sqrt{3} - 1)$

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7、已知首项为1的正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\sqrt{a_{n + 1}} - \sqrt{a_{n}} = \frac{1}{4} a_{2}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} + \sqrt{a_{n}}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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8、已知随机变量 $X$ 服从两点分布，且 $P (X = 0) = 2 - 5 P (X = 1) = a$ ，则 $E (a X + 2) =$ （）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{35}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{15}{16}$

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9、定义向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 的“伴随函数”为 $f (x) = a sin x + b cos x$ ；函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ 的“伴随向量”为 $\vec{O M} = (a, b)$

(1)、求函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ 的“伴随向量” $\vec{O M}$ 的坐标；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若函数 $h (x)$ 的“伴随向量”为 $\vec{O M} = (0, 1)$ ，且已知 $a = 4$ ， $h (A) = \frac{3}{5}$ .
（i）求 $△ A B C$ 周长的最大值；
（ii）求 $| \vec{A B} + \vec{A C} | - \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围.

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10、所有棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，它的顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为.

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11、一组数据1，7，5，2， $x$ ， 2，且 $1 < x < 5$ ， $x \in N^{*}$ ，若该组数据的众数是中位数的 $\frac{2}{3}$ ，则该组数据的平均数为（）

A、3 B、3.5 C、4 D、4.5

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12、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ， $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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13、已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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14、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{i - 1} = |2 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $i$ C、1 D、 $\sqrt{5} i$

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15、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $|S_{n}| = n$ ，则 $|a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{10}|$ 的值不可能为（）

A、96 B、98 C、100 D、102

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16、已知正数 $m, n$ 满足 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n} = 2$ ，则 $m + 3 n$ 的最小值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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17、如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A C = B C$ ， M是半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上异于A，B的动点，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B M$ ．设O，N分别为 $A B$ ， $A M$ 的中点， $∠ M A B = α$ ，三棱锥 $A - B C M$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $O C N$ ；

(2)、当 $α = \frac{π}{6}$ 时，求二面角 $C - A M - B$ 的正切值；

(3)、求点N到平面 $B C M$ 的距离（用 $α$ 表示）．

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x + m (x \in R)$ 的最小值为 $- 1$ ．

(1)、求m的值；

(2)、当 $x \in [0, n] (n > 0)$ 时，函数 $f (x)$ 的取值范围是 $[- \frac{1}{2}, 1]$ ，求n的取值范围；

(3)、当 $x \in [0, π]$ 时，求方程 $6 f^{2} (x) - f (x) - 2 = 0$ 所有实数根的和．

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \sqrt{3} a c \sin B$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $4 π$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， M，N分别是 $P B$ ， $P C$ 的中点．

(1)、求证： $M N ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ．

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