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相关试卷

1、若函数 $f (x) = a e^{2 x} - (2 + 3 a) e^{x} + 3 x$ 在 $(1, 2)$ 上存在单调递减区间，则 $a$ 的取值范围为.

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2、 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中的常数项为.

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3、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则该函数图象在点 $(\frac{1}{e}, - e)$ 处的切线方程为.

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4、自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ），记 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、 $S_{20} + 1 = a_{21}$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n}$ C、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{30} = a_{31} - 1$ D、若 $T_{n} = a_{2023} \cdot a_{2024}$ ，则 $n = 2023$

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5、记随机事件 $A, B$ 的对立事件分别为 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A |B) = 1$ B、若 $P (B |A) = P (B)$ ，则事件 $A, B$ 相互独立 C、 $P (B |A) + P (\bar{B} |A) = P (A)$ D、若 $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (\bar{B} |A) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{B} |\bar{A}) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A) = \frac{1}{2}$

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6、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 2$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- 3, 3)$ B、 $x = - 3$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 没有最大值也没有最小值 D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在区间 $[0, 6]$ 上有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(- 16, 2]$

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7、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - e^{1 - x} - 2 x + 5$ ，若 $f (4 a^{2}) + f (a - 1) > 6$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, \frac{3}{4})$ B、 $(- \infty, - \frac{7}{2}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \frac{7}{2}, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{4}, + \infty)$

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8、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 2$ ， $S_{6} = 12$ ，记 $T_{n}$ 为 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $T_{8} =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{116}{45}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{232}{5}$

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9、从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（）

A、540 B、180 C、360 D、1080

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10、某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（）

A、 $\frac{20}{27}$ B、 $\frac{12}{27}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{4}{27}$

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11、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：
$X$
0
1
2
$P$
0.3
$4 a$
$3 a$
若离散型随机变量 $Y = 3 X - 2$ ，则 $Y$ 的方差 $D (Y) =$ （）

A、0.6 B、5.4 C、1 D、3.4

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12、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 8$ ，则 ${log}_{2} a_{1} + {log}_{2} a_{5} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = 0.4$ ，则 $P (2 \leq ξ \leq 3) =$ （）

A、0.6 B、0.2 C、0.1 D、0.4

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14、若 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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15、若函数 $y = f (x)$ 是其定义域内的区间 $I$ 上的严格增函数，而 $y = \frac{f (x)}{x}$ 是 $I$ 上的严格减函数，则称 $y = f (x)$ 是 $I$ 上的“弱增函数”.若数列 $\{a_{n}\}$ 是严格增数列，而 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是严格减数列，则称 $\{a_{n}\}$ 是“弱增数列”.

(1)、判断函数 $y = ln x$ 是否为 $(e, + \infty)$ 上的“弱增函数”，并说明理由（其中 $e$ 是自然对数的底数）；

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = - 2 x^{2} - 4 x - 8$ 的图像关于坐标原点对称，若 $y = f (x)$ 是 $[m, n]$ 上的“弱增函数”，求 $n - m$ 的最大值；

(3)、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设 $T_{n} = \frac{S_{n} + 2 λ}{2^{n}} (n$ 是正整数，常数 $λ \geq - 2)$ ，若存在正整数 $k$ 和 $m$ ，使得 $k > m > 1$ 且 $T_{k} = T_{m}$ ，求 $λ$ 所有可能的值.

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16、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 1$ ， $A_{1} C = \sqrt{3}$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A_{1} C ⊥ A B$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求直线 $B A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ， $2 sin (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $b = 1$ ， $△ A B C$ 为锐角三角形，求c的取值范围．

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18、为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表.
性别
愿意
不愿意
男生
6
10
女生
18
6

(1)、根据该 $2 \times 2$ 列联表，并依据显著水平 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；

(2)、在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布及期望 $E [X]$ .
附： $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ .

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19、已知在 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，其外接圆的圆心为 $O$ ，则 $\overset{⃑}{A O} \cdot \overset{⃑}{B C}$ 的值为.

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20、若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处存在导数，则 $\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ 的值（）

A、与 $x_{0}$ 有关 B、与h有关 C、与 $x_{0}$ 无关 D、与h无关

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$X$	0	1	2
$P$	0.3	$4 a$	$3 a$

性别	愿意	不愿意
男生	6	10
女生	18	6