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相关试卷

1、在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为．

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2、某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（）

A、3 B、5 C、6 D、10

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右顶点为 $A$ ，点 $P (a, 0)$ 、 $Q (0, t)$ 分别是 $x$ 轴负半轴、 $y$ 轴正半轴上的动点.

(1)、若 $P$ 是 $Γ$ 的左焦点，且 $|O A| = |P Q|$ ，求 $t$ 的值；

(2)、设 $t = 2 \sqrt{2}$ ， $Γ$ 上存在 $x$ 轴上方一点 $B$ .若 $\tan ∠ A Q B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $B$ 的坐标；

(3)、设 $t = 2$ ，过 $P$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点( $M$ 、 $N$ 两点不重合)，与 $y$ 轴交于 $C$ 且 $C$ 的纵坐标 $y_{c} > 1$ ，记 $M$ 与 $N$ 到直线 $A Q$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ .若存在直线 $l$ ，满足 $d_{1} + d_{2} = 3 \sqrt{2}$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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4、若直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．

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5、已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．

(1)、求甲同学取球两次即终止的概率；

(2)、求随机变量X的分布列及期望．

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6、终边在直线 $y = x$ 上的角 $α$ 的集合是．（用弧度制表示）

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7、已知 $f (x) = 1 - \frac{a}{4^{x} + 1}$ 为奇函数， $g (x) = 2 x^{2} + b^{2} x - b$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、若函数 $g (f (x))$ 有两个零点，求实数 $b$ 的取值范围．

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8、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、ab的最小值为8 B、 $a + b$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为16 D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{2}{b - 2}$ 的最小值为2

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (3 - a) x + 2, x \geq 2 \\ a^{x}, x < 2 \end{cases}$ ，则“ $1 < a < 3$ ”是“ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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10、我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值 $θ$ 称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画 $B C$ ，最高点为 $B$ ，最低点为 $C$ ，观察点 $A$ 所在的水平线与壁画的竖直线交点为 $O$ ，在点 $A$ 处观察点 $B$ ，仰角为 $45 °$ ，然后面对壁画前进 $6 m$ 处的点 $D$ 观察点 $B$ ，其仰角的正切值为7．

(1)、求壁画最高点 $B$ 与点 $O$ 的距离；

(2)、若在 $A$ ， $D$ 两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等．
①求壁画最低点 $C$ 与点 $O$ 的距离；
②在观察水平线 $A O$ 上，应处在距离点 $O$ 多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？

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11、如图1，在 $△ P A B$ 中， $P A ⊥ A B$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ ， $C$ 分别是 $P A$ ， $P B$ 的中点，现将 $△ P D C$ 沿 $D C$ 逆时针翻折形成四棱锥 $P^{'} - A B C D$ （如图2），且 $P^{'} A = \sqrt{3}$ ，直线 $P^{'} C$ 与平面 $P^{'} A D$ 所成的角为 $45 °$ ．

(1)、求证：平面 $P^{'} A B ⊥$ 平面 $P^{'} A D$ ；

(2)、求四棱锥 $P^{'} - A B C D$ 的体积；

(3)、求二面角 $C - P^{'} A - D$ 的正切值．

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12、甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{1}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．

(1)、求小队猜对3个谜题的概率；

(2)、求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．

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13、已知 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $cos (α + β) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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14、如图所示，平面 $α \cap$ 平面 $β = l$ ，平面 $α \cap$ 平面 $γ = a$ ，平面 $β \cap$ 平面 $γ = b$ ，点 $P \in$ 平面 $γ$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $α$ ， $P B ⊥$ 平面 $β$ ．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 直线 $A B$ ；

(2)、若直线 $l //$ 直线 $a$ ，证明：直线 $a //$ 直线 $b$ ．

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15、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $D C$ ， $A B$ 的中点，将面 $A D M N$ 沿 $M N$ 翻折形成三棱柱 $A N B - D M C$ ，使得平面 $A D M N$ 与平面 $B C M N$ 所成的角为 $60 °$ ，且 $A B < 2 \sqrt{3}$ ．则 $B M$ 与平面 $A D M N$ 所成角的正弦值为；三棱柱 $A N B - D M C$ 所在外接球的表面积为．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = 60^{\circ}$ ， $a + c = 6$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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17、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{A P} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{A M} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{P Q} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若 $M$ ， $P$ ， $Q$ 三点共线，则实数 $λ$ 的值为．

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18、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为6， $P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A D$ ， $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $M N$ 垂直 B、直线 $B_{1} P //$ 平面 $B M N$ C、三棱锥 $P - B M N$ 的体积为9 D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面是等腰梯形

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19、已知 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，下列说法中正确的有（）

A、若 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ D、若 $z_{1} \notin R$ ，且 $z_{1} + \frac{1}{z_{1}} \in R$ ，则 $|z_{1}| = 1$

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20、下列选项中正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若点 $G$ 为 $△ A B C$ 中线的交点，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向且共线 D、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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