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相关试卷

1、已知O为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆C的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．定义椭圆C上点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的“和点”为 $Q (x_{0} + y_{0}, x_{0} - y_{0})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记OP，OQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的取值范围；

(3)、若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，且 $O A_{1} ⊥ O B_{1}$ ，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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2、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ - 3 < x < 5} ， B = {x ∣ x - m > 0}$ ．

(1)、当 $m = - 2$ 时，求 $A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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3、已知向量 $\vec{A B} = (2, - 1, - 4)$ ， $\vec{A C} = (4, 2, 0)$ ， $\vec{A P} = (- 1, 2, - 1)$ ，则下列说法正确的是（）．

A、 $|\vec{B P}| = 2 \sqrt{3}$ B、 $\vec{B C} ⊥ \vec{A P}$ C、 $\vec{A P}$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量 D、 $\vec{A B} ⊥ \vec{A P}$

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4、已知函数 $f (x) = (x + m) ln x$ ， $g (x) = x + a sin x + b ln x$ .

(1)、当 $m = 1$ 时， $x > 1$ 时，证明： $f (x) > 2 (x - 1)$ .

(2)、设 $0 < a < 1$ ， $b < 0$ ，若存在 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) = g (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ .证明： $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} > \frac{2 \sqrt{- b}}{\sqrt{a + 1}}$ .

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5、如图所示，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $α$ 经过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，与棱 $P B$ ， $A C$ 分别交于点 $F$ ， $D$ ，且 $B C //$ 平面 $α$ ， $P A //$ 平面 $α$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $α$ ；

(2)、若 $A B = B C = P A = 2$ ，点 $M$ 是直线 $E F$ 上的动点，求平面 $M A C$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值的最大值．

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6、在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} a \sin B = b (1 + \cos A)$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $c = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上且 $B D = 2 D C$ ，求线段 $A D$ 的长．

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7、苏州某网红奶茶品牌公司计划在周边 $W$ 城市开设加盟分店，为了确定在 $W$ 城市开设分店的个数，该公司对苏州市相城区的5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记 $x$ 表示在相城区的5个区域开设分店的个数， $y$ 表示这 $x$ 个分店的年收入之和.
$x$ （个）
2
3
4
5
6
$y$ （十万元）
2.5
3
4
4.5
6

(1)、该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程：

(2)、如果该公司最终决定在 $W$ 城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.完成下列表格，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异?

不下单
下单
合计
分店一

分店二

合计

参考公式： $\hat{b} = \frac{∑_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{∑_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $x_{0.1} = 2.706$

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8、设函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{1}{x}, x > 0 \\ - x^{2} + 3, x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $h (x) = g (f (x)) - a$ 有六个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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9、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为.

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10、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内运动（含边界）且 $A E$ $∥$ 平面 $B C_{1} D$ ，则（）

A、点 $E$ 的轨迹长度大小为 $2 \sqrt{2}$ B、三棱锥 $B - C_{1} D E$ 的体积始终不变 C、异面直线 $A E$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小可能为 $\frac{π}{2}$ D、当异面直线 $A E$ 与 $B C_{1}$ 所成角最大时，四面体 $A B C_{1} E$ 的外接球的表面积为 $12 π$

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11、已知 $x, y \in R, 15^{x} = 3, 15^{y} = 5$ ，则（）

A、 $y > x$ B、 $x + y > 1$ C、 $x y < \frac{1}{4}$ D、 $\sqrt{x} + \sqrt{y} < \sqrt{2}$

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12、某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y， $\frac{1}{2}$ ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为 $\frac{5}{18}$ ，该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为（）

A、 $\frac{25}{18}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{18}$

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13、函数 $f (x) = \cos x \cdot \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知命题：“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $2 x^{2} - a x + 1 < 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$

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15、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2} = 2 ， S_{4} = 6$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （　　）

A、8 B、10 C、14 D、18

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16、已知 $z (1 + i) = 3 + i$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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17、 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，下列结论中，不正确的是（）

A、 $f (- x) + f (x) = 0$ B、 $f (- x) - f (x) = - 2 f (x)$ C、 $\frac{f (x)}{f (x) - x} = - 1$ D、 $f (- x) \cdot f (x) \leq 0$

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18、下列说法正确的是（）

A、命题： $\forall x \in R$ ， $x^{2} > - 1$ 的否定是： $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq - 1$ . B、关于 $x$ 的不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数都成立，则实数 $k$ 的取值范围是 $- 3 < k < 0$ . C、“ $x^{2} > y^{2}$ ”是“ $x > y$ ”的必要而不充分条件. D、“ $m < 0$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正一负根”的充要条件.

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19、若两个正实数 $x, y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ 且存在这样的 $x, y$ 使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} + 3 m$ 有解，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 1, 4)$ B、 $(- 4, 1)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (0, + \infty)$

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20、眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件 $A$ ）和“老花”（设为事件 $B$ ）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{B} |A) = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立 B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $P (A + B) = P (\bar{B})$ D、 $P (A| B) = P (\bar{A}| \bar{B})$

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$x$ （个）	2	3	4	5	6
$y$ （十万元）	2.5	3	4	4.5	6

	不下单	下单	合计
分店一
分店二
合计