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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，椭圆上动点 $Q$ 到右焦点 $F$ 的距离最大值等于3．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点
①求动点 $M$ 的轨迹方程；
②求线段 $|M Q|$ 的长度的取值范围．

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B C$ 的中点，侧棱 $A A_{1}$ 上点 $E, F$ 满足 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ ．

(1)、证明： $P E / /$ 平面 $B_{1} C F$ ；

(2)、若 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $A F = \frac{2}{3}$ ，求直线 $B C$ 与平面 $B_{1} C F$ 所成角的正弦值．

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3、已知数列{a_n}，其前n项和记为S_n ，满足 $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $a_{n} + 2 = S_{n + 1} - S_{n}$ .

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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4、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ， $A D = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A D = 150 °$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，过点A的平面 $α$ 与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形 $A E F G$ 为菱形，则 $P A =$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\} ，$ 满足 $a_{n} = \frac{1 + a_{n - 1}}{1 - a_{n - 1}} ，$ 若 $a_{1} = 2$ ， $S_{n}$ 表示 $a_{n}$ 的前n项和，则 $S_{2025} =$ .

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6、在 ${(1 + 2 x)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数为．

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\frac{1 + sin A}{cos A} = \frac{1 + sin B}{cos B}$ ， D为边BC的中点，则（）

A、 $C \in (0, \frac{π}{2})$ B、 $C A = C B$ C、 $A D > \frac{3}{2}$ D、 $∠ C A D$ 最大时， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ B、若 $t$ 的值为3，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$ C、若 $0 < t < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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9、设椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆E上点P满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，直线 $P F_{1}$ 和直线 $P F_{2}$ 分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若 $\frac{|F_{1} A|}{|F_{2} B|} = \frac{2}{3}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$

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10、正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 作第二个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，然后再取正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各边中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（）

A、 $2 - \frac{1}{2^{12}}$ B、 $2 (1 - \frac{1}{2^{10}})$ C、 $2 - \frac{1}{2^{11}}$ D、 $2 (1 - \frac{1}{2^{11}})$

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11、双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = m x$ ，则 $| m | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq \log_{2} (2 x - 4) \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 4, 5, 6\}$ B、 $\{x |3 \leq x \leq 5\}$ C、 $\{x |\frac{9}{4} \leq x \leq 5\}$ D、 $\{2, 3, 4, 5, 6\}$

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13、已知海岛 $A$ 四周 $8$ 海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在 $B$ 处望见岛 $A$ 在北偏东 $75 °$ ，航行 $20 \sqrt{2}$ 海里后，在 $C$ 处望见岛 $A$ 在东偏北 $60 °$ ．

(1)、请在图中作出岛 $A$ 的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角）

(2)、若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由．
（提示： $\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ）

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $c = 2 a = 2, \sin A + b \sin B = 2 \sin C - b \sin A$ ，则 $\sin A =$ ．

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15、O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是 $△ A B C$ 的三个内角，且点O满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ，则O是 $△ A B C$ 的心．

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16、 $\frac{\cos 75 ° - \sin 75 °}{\cos 75 ° + \sin 75 °} =$ .

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17、已知函数 $f (x) = | \ln (x - 1) |, f (a) > f (b)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a > 2$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $a > 2$ C、若 $a > 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ D、若 $a > 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$

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18、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\bar{z_{1}}$ 为 $z_{1}$ 的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $z_{1} + \bar{z_{1}}$ 为实数 B、 $|\bar{z_{1}}| = |z_{1}|$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ D、 $|z_{2} \bar{z_{1}}| = |z_{2} z_{1}|$

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19、（多选）已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，且向量 $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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20、若 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $sin α$ ， $cos α$ ， $tan α$ 的大小顺序是（）

A、 $cos α < tan α$ $< sin α$ B、 $tan α < cos α$ $< sin α$ C、 $cos α < sin α$ $< tan α$ D、 $sin α < cos α$ $< tan α$

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