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相关试卷

1、已知 $O$ 为坐标原点，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2, P$ 在直线 $l : x - y + 2 = 0$ 上运动，则 $|P C| + |P O|$ 的最小值为.

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2、抛物线 $x = 8 y^{2}$ 上一点到其焦点 $F$ 的距离的最小值为.

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3、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 边长为1，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D A} + μ \vec{D C}$ ，其中 $λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ 时，存在点 $P$ ，使得 $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、当 $λ, μ$ 满足 $λ = μ^{2}$ 时，不存在点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ C_{1} P$ C、当 $λ, μ$ 满足 $λ + μ = 1$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B P$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、当 $λ, μ$ 满足 $2 λ^{2} + 4 μ^{2} = 1$ 时，三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积的最小值为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{12}$

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A, B$ 分别在直线 $l_{1} : y = k x (k > 0), l_{2} : y = - k x$ 上（均异于点 $O$ ）， $∠ A O B = θ, \vec{O P} = \vec{O A} + \vec{O B}$ .过点 $A, B$ 分别作 $∠ A O B$ 的角平分线的垂线，垂足分别为 $M, N$ ， $△ O A M, △ O B N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ .若 $S_{1} + S_{2}$ 为定值，则（）

A、 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ 时，点 $P$ 的轨迹是椭圆 B、 $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ 时，点 $P$ 的轨迹是双曲线 C、存在 $θ$ ，使得点 $P$ 的轨迹是圆 D、存在 $θ$ ，使得点 $P$ 的轨迹是抛物线

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5、对于任意两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，下列命题中正确的是（）

A、 ${\vec{a}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$ B、 $|{\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}| = |\vec{a} + \vec{b}| \cdot |\vec{a} - \vec{b}|$ C、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ D、向量 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 与向量 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 垂直

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6、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}, P$ 为两曲线在第一象限的交点， $e_{1}, e_{2}$ 分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率.若 $∠ P F_{1} F_{2} = ∠ F_{2} P O$ ，则 $e_{2} + \frac{2}{e_{1}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, M, N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $C C_{1}$ 上的中点，点 $P$ 是正方体表面上一点且满足 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = - \frac{1}{8}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2} π$ B、 $\sqrt{14} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{14}}{2} π$ D、 $3 \sqrt{14} π$

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8、已知点 $A (1, 0)$ 、 $B (4, 0)$ ，点 $P$ 满足 $|B P| = 2 |A P|$ ，记 $P$ 的轨迹为 $C$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ B、曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ C、点 $P$ 的轨迹所围成的面积为 $2 π$ D、点 $P$ 的轨迹所围成的面积为 $8 π$

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9、如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形 $A B C D$ 的直观图为梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'}$ $∥$ $C^{'} D^{'}, A^{'} B^{'} ⊥ B^{'} C^{'}, A^{'} B^{'} = 2, D^{'} C^{'} = 1$ .以原四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 为轴旋转一周得到的几何体体积为（）

A、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{7 \sqrt{2} π + 4 π}{4}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{10}{3}$

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, 2 \sqrt{3}), \vec{b} = (t, 1)$ ，若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- \sqrt{3} - 2$ B、 $- \sqrt{3} + 2$ C、 $\sqrt{3} - 2$ D、 $\sqrt{3} + 2$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是 $C$ 上在第二象限内的一点，且 $|P F_{2}| - |P F_{1}| = 2$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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12、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为 $4 π$ ，体积为 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π$ ，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{6}$

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13、 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B C$ 上靠近点 $B$ 的五等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b}$ C、 $\frac{4}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

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14、给定实数 $p \in (0, 1)$ ，对于正整数 $n (n \geq 2)$ ，设数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ 满足每一项取1的概率为 $p$ ，取0的概率为 $1 - p$ ，且各项取值相互独立.如果数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ 中的0将数列分成（ $c_{1}$ 项、 $c_{2}$ 项、…、 $c_{k}$ 项 $(k \in N^{*})$ ）全为1 的连续段，则记 $W (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = c_{1}^{2} + \dots + c_{k}^{2}$ ，特别地，定义 $W (0, 0, ..., 0) = 0$ ，例如， $n = 9$ 时， $W (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) = 2^{2} + 1^{2} + 3^{2} = 14$ .

(1)、 $n = 4$ 时，记随机变量 $X_{1} = W (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) ，$ 求 $X_{4} = 2$ 的概率.

(2)、对于数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ ，定义 $Z (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 为：若 $a_{n} = 1$ ，则它是最大的正整数 $m \in \{1, 2, \dots, n\}$ ，使 $a_{n} = a_{n - 1} = \dots = a_{n - m + 1} = 1$ ；若 $a_{n} = 0$ ，则它为0，例如， $n = 5$ 时， $Z (1, 0, 1, 1, 1) = 3$ .
（i） $n = 3$ 时，求随机变量 $Z_{3} = Z (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 的分布及数学期望；
（ii）求随机变量 $Z_{n} = Z (a_{1}, \dots, a_{n})$ 的数学期望.

(3)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求随机变量 $W_{n} = W (a_{1}, \dots, a_{n})$ 的数学期望.

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15、已知函数 $f (x) = (x - a) ln x - x ， a \in R .$

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，证明：
(i) $ln x_{1} + ln x_{2} < - 2$ ；
(ii) $x_{2} - x_{1} < e^{- 2} + 2 a + 1.$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为： ${(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ ， B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T.

(1)、求点 $T$ 的轨迹 $W$ 的方程；

(2)、轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 $k_{1}$ ， NQ的斜率为 $k_{2}$ 且 $k_{1} = 3 k_{2}$ ， $△ M P Q$ 与 $△ N P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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17、如图，圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中， $A B$ 是底面圆 $O_{2}$ 上的一条直径， $P$ ， $Q$ 分别是底面 $O_{2}$ ， $O_{1}$ 圆周上的一点， $P Q // O_{1} O_{2}$ ， $A B = 2 P Q$ ，且点 $P$ 不与 $A$ ， $B$ 两点重合.

(1)、证明：平面 $A P Q ⊥$ 平面 $B P Q$ ；

(2)、若二面角 $A - O_{1} O_{2} - P$ 为 $60 °$ ，求直线 $B Q$ 与平面 $P Q O_{1}$ 所成角的正弦值.

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a - b \cos C = \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B, a = 2, c = 6$ ， D为边 $A C$ 上的靠近点C的三等分点．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、求 $|B D|$ ．

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19、不等式 $e^{2 x} + 3 a^{2} x \geq a e^{x} (3 + x)$ 对任意 $x \in [1, + \infty)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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20、已知 $y = \ln (\frac{a}{x - 2} + 1)$ 为奇函数，则实数a的值是．

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