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相关试卷

1、为了研究大气污染物 ${PM}_{2.5}$ 浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下：
${PM}_{2.5}$ 浓度（单位： $μ g / m^{3}$ ）
汽车流量（单位：千辆/24小时）
合计
$(0.5, 1.4]$
$(1.4, 2]$
$(0, 75]$
8
2
10
$(75, 150]$
1
13
14
合计
9
15
24

(1)、判断是否有 $99 %$ 的把握认为 ${PM}_{2.5}$ 浓度与汽车流量有关？

(2)、对于随机事件 $α$ ， $β$ ，若 $r_{α, β} = P (α| β) - P (α) > 0$ ，则认为事件 $β$ 对事件 $α$ 发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记 $A$ 为“ ${PM}_{2.5}$ 浓度超过 $75 μ g / m^{3}$ ”， $B$ 为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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2、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，抛物线 $C_{2} : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，点 $A$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的交点， $B$ 是 $C_{1}$ 的左顶点，直线 $A B$ 交 $C_{2}$ 于点 $D$ ，若点 $D$ 恰为线段 $A B$ 的中点，则 $p^{2}$ 的值为.

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3、老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为 $X$ ，则 $E (X) =$ .

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4、已知复数 $z = \frac{i - 2}{2 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为.

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2$ ， $g (x) = k x + k (k \in R)$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点（1，2）处的切线方程为 $y = 9 x - 7$ B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a, a + 4)$ 上存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围为(－3，0) C、若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有三个交点 $(x_{i}, y_{i})$ ， $i = 1, 2, 3$ ， $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 必成等差数列 D、存在曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有三个交点 $(x_{i}, y_{i})$ ， $i = 1, 2, 3$ ， $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等比数列

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6、已知在等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 1$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，在等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{2} = a_{5}$ ，则（）

A、 $S_{n} = n^{2}$ B、数列 $\{{log}_{2} b_{n}\}$ 是等差数列 C、数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{2 n}{2 n + 1}$ D、数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $(n - 1) 3^{n + 1} + 3$

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7、已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为 $X$ ；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为 $Y$ .下列说法中，正确的有（）

A、 $p (X \geq 1) = \frac{65}{81}$ B、 $p (X = i) < p (Y = i)$ ，其中 $i = 0, 1, 2, 3$ C、 $E (X) = E (Y)$ D、 $D (X) > D (Y)$

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8、已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 2$ ， $A B = B C = A C = 3$ ，则该三棱锥的外接球表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $16 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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9、现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（）有种？

A、20 B、38 C、70 D、74

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10、已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 同时满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、将函数 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到的函数的表达式为（）

A、 $y = cos (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $y = cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ C、 $y = sin (2 x + \frac{7 π}{12})$ D、 $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{11 π}{24})$

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12、已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ，则“ $∠ B A C$ 为锐角”是“ $S < 1$ ”（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、直线 $l : x \cos θ + y \sin θ = 2 + \cos θ$ 与圆 $O : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、相切 D、无法确定

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14、已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {k ∣ - 3 \leq k \leq 3, k \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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15、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x) ln x + x (a \in R, a > 0)$ ．

(1)、分析函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的单调性．

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，试问 $f (x)$ 是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求满足题意的 $a$ 的最小整数值．（参考数据： $ln 2 \approx 0.693$ ， $\sqrt{e} \approx 1.649$ ）

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16、如图，将圆 $O$ 沿直径 $A B$ 折成直二面角，已知三棱锥 $P - C O D$ 的顶点 $C$ 在半圆周上， $P$ ， $D$ 在另外的半圆周上， $O C ⊥ A B$ ．

(1)、若 $O D ⊥ O P$ ，求证： $O P ⊥ C D$ ；

(2)、若 $O A = 2$ ， $∠ A O D = 30^{\circ}$ ，直线 $C D$ 与平面 $P O C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求三棱锥 $C - P O D$ 的体积．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \{\begin{array}{l} - \frac{n + 3}{2}, n 为奇数 \\ \frac{n}{2}, n 为偶数 \end{array}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 的值．

(2)、求数列的通项．

(3)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和．

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18、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数 $y = f (x)$ 的大致图象（不用说明理由）；

(2)、求证： $\frac{f (x) + e^{x}}{x^{2}} > ln x - x + 3$ ．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{a_{n + 1} + 1}{a_{n} + 1} = 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3 n^{2} + n}{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = 2^{n} - 1$ ，将 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的公共项由小到大排列构成新数列 $\{c_{n}\}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前5项和等于．

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${PM}_{2.5}$ 浓度（单位： $μ g / m^{3}$ ）	汽车流量（单位：千辆/24小时）		合计
${PM}_{2.5}$ 浓度（单位： $μ g / m^{3}$ ）	$(0.5, 1.4]$	$(1.4, 2]$	合计
$(0, 75]$	8	2	10
$(75, 150]$	1	13	14
合计	9	15	24

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828