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相关试卷

1、如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线 $l$ 旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为 $O$ ， $D$ 是几何体侧面上不在 $⊙ O$ 上的动点， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上不同于 $A$ ， $B$ 的动点， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $\overset{⃑}{A E} = 2 \overset{⃑}{E D}$ .
（1）证明： $E G //$ 平面 $B C D$ ；
（2）当三棱锥 $D - A B C$ 体积最大时，求直线 $C D$ 与面 $B G E$ 所成角的正弦值.

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2、养殖户承包一片靠岸水域，如图所示， $A O$ ， $O B$ 为直线岸线， $O A = 2$ 千米， $O B = 3$ 千米， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，过弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点P按线段 $P A$ 和 $P B$ 修建养殖网箱，已知 $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求岸线上点A与点B之间的直线距离；

(2)、如果线段 $P A$ 上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段 $P B$ 上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记 $∠ P A B = θ$ ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的任意一点，记 $l$ 为 $P$ 在椭圆 $C$ 上的切线，过 $F_{1}$ 作直线 $F_{1} H ⊥ l$ ，垂足为 $H$ ，则 $△ H F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为

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4、将正整数n分解成两个正整数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的积，即 $n = k_{1} \times k_{2}$ ，当 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两数差的绝对值最小时，称 $(k_{1}, k_{2})$ 为正整数n的最优分解，如 $(4, 5)$ 为20的最优分解．当 $(k_{1}, k_{2})$ 为n的最优分解时，定义 $f (n) = |k_{1} - k_{2}|$ ，则数列 $\{f (5^{n})\}$ 的前2025项和为．

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5、若“ $\forall x \in R, x^{2} - a x - 2 a > 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是.

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6、已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + \sin^{2} x} + \sin x)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, \ln (\sqrt{2} + 1)]$ C、当 $x > 0$ 时， $f (x) < x$ 桓成立 D、若 ${(f (x))}^{2} + a \cdot f (x) + 1 = 0$ 在 $x \in [0, 2025 π]$ 上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个

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7、如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱 $A E$ 的中点，点N为正方形 $E F G H$ 内（包含边界）的动点，若 $M N / /$ 平面 $B D G$ ，下列结论正确的为（）

A、点N的轨迹和正方形 $E F G H$ 的内切圆相切 B、存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C、无论点N在何位置，总有 $M N ⊥ C E$ D、 $M N$ 长度的取值范围为 $[\frac{\sqrt{6}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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8、已知定圆 $M : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A$ 是圆 $M$ 所在平面内异于 $M$ 的定点，点 $P$ 是圆 $M$ 上的动点，若线段 $P A$ 的中垂线交直线 $P M$ 于点 $Q$ ．则点 $Q$ 的轨迹可能为（）

A、椭圆 B、双曲线的一支 C、双曲线 D、圆

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9、下列选项中，曲线 $y = m \sin (x - \frac{π}{9}) (m \in R)$ 与 $y = 2 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ 在 $x \in [\frac{π}{9}, \frac{19 π}{9}]$ 上的交点个数不一样的是（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 1$ C、 $m = - 2$ D、 $m = 2$

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10、某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（）

A、270 B、240 C、180 D、150

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11、函数 $f (x) = \frac{|x^{2} - 1|}{x}$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，且 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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13、设集合 $A = \{0, 1\}, B = \{x | x^{2} - 5 x + t = 0\}$ ，若 $A \cap B = \{1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0, - 4, 1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 4\}$

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14、已知 $z$ 为复数，设 $z$ ， $\bar{z}$ ， $i z$ 在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（）

A、 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}|$ B、 $\vec{O A} ⊥ \vec{O C}$ C、 $|\vec{A C}| = |\vec{B C}|$ D、 $\vec{O B} ∥ \vec{A C}$

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15、著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 $S = a b π$ ，（ $a, b$ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ．

(1)、求 $C$ 的面积；

(2)、若直线 $l : x + 2 y - 3 = 0$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，求 $|A B|$ ．

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16、已知函数 $f (x) = ln x - a x + 1$ ，其中 $a \in R .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、①若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值；
②证明： $3 + \frac{5}{2^{2}} + \frac{7}{3^{2}} + \dots + \frac{2 n + 1}{n^{2}} > 2 ln (n + 1)$ ，其中 $n \in N^{*} .$

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， M为 $B C$ 的中点．
（1）求证： $P B ⊥ A M$ ；
（2）求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 所成的角的余弦值．

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18、数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 5$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + n$ ，则 $a_{10}$ 等于.

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 1$ ， $a \in R$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 有极值点，则 $a \leq 0$ B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有一个零点 C、 $f (x) = 2 - f (- x)$ D、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上斜率为2的切线是直线 $y = 2 x - 1$

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20、已知点 $A (1, - 2) 、 B (2, 0) 、 C (3, - 3) 、 D (- 1, - 6)$ ，则（）

A、 $\vec{A B}$ $∥$ $\vec{A D}$ B、 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = 0$ D、 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$

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