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相关试卷

1、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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2、已知 $A (4, 0)$ 和 $P (2, \sqrt{2})$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 切于点 $P$ .

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $△ A B P$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $l$ 的方程.

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3、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，其外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，满足 $a \cos A + b \cos B + c \cos C = \frac{3 \sqrt{3} R}{2}$ ， $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则（）

A、 $a + b + c = 9$ B、 $\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $R = \sqrt{3}$

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4、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的有（）

A、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点 $D$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $A B$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $30 °$

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5、九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件 $A = “ a + b \geq 9$ ”，则 $P (A)$ 的值为.
$a$
$d$
$f$
$b$
5
$g$
$c$
$e$
$h$

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6、三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点 $D$ 为平面 $α$ 外一点，过 $D$ 点的斜线在平面 $α$ 上的射影为 $O E, O F$ 为平面 $α$ 上的任意直线，则 $\cos ∠ D O F = \cos ∠ D O E \cdot \cos ∠ E O F$ .

(1)、证明以上三余弦定理；

(2)、如图2，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A_{1} A = 2, ∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = θ$ .
①证明：平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
②若直线 $A_{1} A$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求点 $C_{1}$ 到平面 $B A A_{1}$ 的距离.

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7、某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）；

(3)、若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线.

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a cos C + \sqrt{3} a sin C = b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2, △ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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9、已知 $(m + i) (1 + i) = 1 + 3 i$ .

(1)、求实数 $m$ ；

(2)、若 $z = \frac{10 + 5 i}{m - i}$ ，求 $|z|$ .

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10、如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 $S$ 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为.

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $cos A = \frac{4}{5}, cos B = \frac{1}{2}, b = \sqrt{3}$ ，则 $a =$ .

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, 1), x \in R, \vec{b} = (2, 4)$ ，若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $x =$ .

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13、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}, λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|D_{1} P|$ 的最小值为1 B、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $P B D_{1}$ 截得正方体的截面面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、当 $λ + μ = \frac{1}{2}$ 时， $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、当 $λ = μ (λ \neq 0)$ 时， $A_{1} D ⊥$ 平面 $P B D_{1}$

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14、某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（）

A、该校高一学生总人数为800 B、该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C、该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D、按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人

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15、在复平面内， $O$ 为坐标原点，已知向量 $\vec{O A}, \vec{O B}$ 对应的复数分别为 $6 + 5 i, - 3 + 4 i$ ，则以下正确的是（）

A、点 $B$ 位于第二象限 B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} < 0$ C、向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $9 + i$ D、 $|\vec{B A}| = \sqrt{82}$

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x - cos ω x (0 < ω < 1)$ 的图象关于直线 $x = \frac{4 π}{3}$ 对称， $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) = 1$ 在区间 $(0, a)$ 内恰有3个解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{17 π}{3}, \frac{19 π}{3})$ B、 $(\frac{17 π}{3}, \frac{19 π}{3}]$ C、 $(5 π, \frac{19 π}{3})$ D、 $(5 π, \frac{19 π}{3}]$

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17、已知 $O$ 为四边形 $A B C D$ 所在平面内一点，满足 $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$ ，若 $A D = 2 A B = 2$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}, E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、3

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18、已知正四棱锥的侧棱长为 $2 \sqrt{41}$ ，侧面与底面所成二面角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、正四棱锥的底面边长为16 B、正四棱锥的高为6 C、正四棱锥的体积为 $512 \sqrt{3}$ D、正四棱锥的表面积为576

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19、在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{B D} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A D}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$

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20、设 $P (A) = 0.4, P (A B) = 0.2$ ，且 $A, B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.9

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