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相关试卷

1、“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则（）

A、该石凳的表面积为 $24 + 8 \sqrt{3}$ B、该石凳的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ C、直线 $L H$ 与 $B C$ 的夹角为 $60^{\circ}$ D、 $D H ⊥$ 平面 $L E I$

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2、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右焦点，点 $Q (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在 $C$ 上， $M$ 是 $C$ 上的动点， $M N ⊥ y$ 轴，垂足为 $N$ ，且 $P$ 为 $M N$ 的中点，则（）

A、 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的最大值为 $120^{\circ}$ B、 $\frac{1}{|M F_{1}|} + \frac{4}{|M F_{2}|}$ 的最小值为 $9$ C、点 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ D、 $|P Q|$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{10}}{2} - 1$

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3、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{4}) + cos (x - \frac{π}{4})$ ，则（）

A、函数 $f (x - \frac{π}{4})$ 为偶函数 B、曲线 $y = f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{4}, 0)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值为2

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4、设函数 $f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，若 $f (1 + x) f (3 - x) \leq 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{3} x_{i} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ，以 $A B, A C$ 为直径分别作半圆， $P$ 是两段半圆弧上的动点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 6]$ B、 $[- 2, 5]$ C、 $[- 2, 6]$ D、 $[- 1, 5]$

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6、设函数 $g (x) = f (x) - |x|$ 是奇函数， $h (x) = f (x) + 2$ ，若 $f (1) = 3$ ，则 $h (- 1) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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7、 ${(2 x + y - 1)}^{6}$ 的展开式中，含 $x y^{4}$ 的项的系数是（）

A、 $- 60$ B、 $- 30$ C、30 D、60

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8、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x_{1})}^{2} =$ （）

A、 $n^{2}$ B、 $n$ C、1 D、0

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9、复数 $z$ 满足 $|z - 1| - |z + 1| = 1$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点的轨迹为（）

A、圆 B、双曲线的一支 C、椭圆 D、抛物线

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10、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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11、定义：若非零向量 $\vec{O M} = (a, b)$ ，函数 $f (x)$ 的解析式满足 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，则称 $f (x)$ 为 $\vec{O M}$ 的“线性函数”， $\vec{O M}$ 为 $f (x)$ 的“线性向量”，

(1)、若向量 $\vec{O M}$ 为函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 4 sin (x - \frac{π}{2})$ 的“线性向量”，求 $|\vec{O M}|$

(2)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的“线性函数”，在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 \sqrt{3}, f (A) = 1$ ，且 $cos B cos C = - \frac{1}{8}$ ，求 $A B + A C$ 的值；

(3)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (\sqrt{3}, 1)$ 的“线性函数”，且当 $x \in [0, \frac{11 π}{6}]$ 时，方程 $f^{2} (x) + (2 - a) f (x) + a - 3 = 0$ 存在4个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有棱长均为 $a$ ，点 $R$ 是棱 $P C$ 的中点，点 $Q$ 是底面 $A B C D$ 内任意一点，点 $Q$ 到侧面 $P A B, P B C, P C D, P D A$ 的距离分别为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ ．

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $B R D$ ；

(2)、求 $d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}$ ；

(3)、记 $P Q$ 与侧面 $P A B, P B C, P C D, P D A$ 所成的角分别为 $α, β, γ, δ$ ，证明： ${cos}^{2} α + {cos}^{2} β + {cos}^{2} γ + {cos}^{2} δ > \frac{20}{9}$ ．

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} c + b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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14、已知复数 $z$ 和它的共轭复数 $\bar{z}$ 满足 $3 z + \bar{z} = 4 + 4 i$ .

(1)、求 $z$ ；

(2)、若 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，求复数 $q + p i$ 的模长.

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 0)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直．

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值．

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16、已知 $\sin (α - β) \cos α - \cos (α - β) \sin α = \frac{3}{5}$ ，且 $β$ 为第三象限角，则 $\cos β =$ .

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17、三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点P在平面ABC的射影为O，满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， A点在侧面PBC上的射影H是 $△ P B C$ 的垂心， $P A = 6$ ，此三棱锥体积的最大值是.

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18、如图，在平面直角坐标系 $x A y$ 中， $\vec{A B} = (4, 0), \vec{A D} = (1, 4), \vec{D C} = (2, - 1)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $|\vec{B D}| = 4$ B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{21}{2}$ C、 $△ A B C$ 外接圆的周长为 $2 \sqrt{5} π$ D、 $cos < \vec{C B}, \vec{C D} > = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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19、已知 $△ A B C$ 且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = {\vec{B A}}^{2}$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 上的动点， $B C = 2 A B = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ B = \frac{π}{3}$ B、若 $P$ 为线段 $B C$ 的中点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 4$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = - 12$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为 $[- \frac{1}{2}, 12]$

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20、已知共面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4, \vec{b} + \vec{c} = 2 \vec{a}$ 且 $|\vec{b}| = |\vec{b} - \vec{c}|$ .若对每一个确定的向量 $\vec{b}$ ，记 $|3 \vec{b} + t \vec{a}| (t \in R)$ 的最小值为 $d_{\min}$ ，则当 $\vec{b}$ 变化时， $d_{\min}$ 的最大值为 (　　)

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、8 D、 $\frac{17}{2}$

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