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相关试卷

1、已知x，y为正实数，且 $x^{2} + x y + 4 y^{2} - z = 0$ ，当 $\frac{z}{x y}$ 最小时， $z - 4 x - y$ 的最小值为.

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2、校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 $10 \sqrt{6} m$ (如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌时长为50 s，升旗手应以m/s的速度匀速升旗.

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3、已知定义在 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足：当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则（）

A、 $3 f (4) > 4 f (3)$ B、函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 为增函数 C、函数 $y = x f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 为增函数 D、 $f (3 x_{1} + x_{2}) + f (x_{1} + 3 x_{2}) > 4 f (x_{1} + x_{2})$

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4、(多选题)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，Q分别是棱D₁C₁ ， A₁D₁ ， BC的中点，点P在BD₁上且BP＝ $\frac{2}{3}$ BD₁ ，则下列说法正确的是（）

A、MN∥平面APC B、C₁Q∥平面APC C、A，P，M三点共线 D、平面MNQ∥平面APC

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5、已知 $a, b$ 均为大于0的实数，下列不等式中恒成立的是（）

A、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{a + 3} \geq \sqrt{a + 1} + \sqrt{a + 2}$ C、 $\frac{b + 1}{a + b + 1} > \frac{b}{a + b}$ D、 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} \geq a + \frac{1}{a}$

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6、高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[- 2] = - 2$ .设函数 $f (x) = x^{2} - x [x]$ ，则使不等式 $f (x) - 2 a x^{2} \leq 0$ 恒成立的实数 $a$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7、若函数 $y = \sin^{2} (x + \frac{π}{6})$ 与函数 $y = \sin 2 x + a \cos 2 x$ 的图象的对称轴相同，则实数a的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是三个非零向量，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，若关于 $x$ 的方程 $\vec{a} x^{2} + \vec{b} x + \vec{c} = \vec{0}$ 有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则

A、 $x_{1} > x_{2}$ B、 $x_{1} = x_{2}$ C、 $x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 大小不确定

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9、一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 (　　)

A、 $\frac{\sqrt{6 π}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{π}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2 π}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{π}}{2 π}$

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10、使 $x > y$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x^{\frac{1}{3}} > y^{\frac{1}{3}}$ B、 $x - y + \frac{1}{x - y} > 2$ C、 $ln x^{2} > 2 ln y$ D、 $a^{x - y} > 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$

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11、定义集合 $A * B = {x | x \in A$ 且 $x \notin B}$ ，若 $A = {1, 3, 5, 7}$ ， $B = {2, 3, 5}$ ，则 $A * B$ 的子集个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知 $F^{'}$ 、F分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A (1, \frac{3}{2})$ 在椭圆C上，且 $△ A F F^{'}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $T (4, 0)$ 的直线l与线段AF相交于S，与椭圆交于P、Q两点.
（Ⅰ）证明： $∠ P F S = ∠ Q F S$ ；
（Ⅱ）若 $S_{△ A Q S} = S_{△ P F S}$ ，求点P的坐标.

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13、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} - 4 x$ ， $g (x) = \ln x$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求函数 $y = f (x) + 3 g (x)$ 的极值；

(2)、设 $b > 0$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数， $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导数， $h (x) = f^{'} (x) + b g^{'} (x) + 4$ ， $h (x)$ 图像的最低点坐标为 $(2, 4)$ ，对于任意正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 1$ ， $h (x_{1}) h (x_{2}) \geq m$ 恒成立.求实数m的最大值.

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14、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，且各棱长均为2. $D, E, F$ 分别为棱 $A B, B C, A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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15、某公司在年终总结大会上开展了一次趣味抽奖活动.活动规则为：先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注金额不同外，其余均相同），其中标注金额为10元、20元、50元的球分别有3个、2个、1个.若员工甲每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸m次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的抽奖奖金总金额.

(1)、若 $m = 1$ ，设员工甲获得的金额 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、若 $m = 2$ ，采用有放回方式摸球，设事件 $X =$ “员工甲获得的总金额不低于40元”，求 $P (X)$ .

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16、已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右顶点，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - a)$ 与双曲线C的左支相交于一点M，满足 $∠ M A_{1} A_{2} = 4 ∠ M A_{2} A_{1}$ ，则双曲线C的离心率的值为.

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17、已知正三棱锥 $A - B C D$ 底面边长为2，其内切球的表面积为 $\frac{2π}{3}$ ，则二面角 $A - B C - D$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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18、若直线 $l : y = x + m$ 与曲线 $C : x = 3 - \sqrt{4 y - y^{2}}$ 有公共点，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 3, 2 \sqrt{2} - 1]$ B、 $[- 2 \sqrt{2} - 1, - 3]$ C、 $[- 3, 2 \sqrt{2} - 1]$ D、 $[- 2 \sqrt{2} - 1, 2 \sqrt{2} - 1]$

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19、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $\sin C = 2 \sin B$ .则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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20、已知复数 $z = i + i^{9}$ ，则 $|z \cdot i| =$ （）

A、0 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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