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相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，以 $O A$ 为始边，角 $α$ 与 $β$ 的终边分别与单位圆相交于 $E$ ， $F$ 两点，且 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，若直线 $E F$ 的斜率为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{15}{17}$ B、 $- \frac{8}{17}$ C、 $\frac{8}{17}$ D、 $\frac{15}{17}$

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2、一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A､B､C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（）

A、6种 B、8种 C、12种 D、48种

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3、设复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = |1 + 2 \sqrt{6} i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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4、对于正整数集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (n \in N^{*}, n \geq 3)$ ，定义：若任意去掉 $m$ 个元素 $(1 \leq m < n)$ 后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 $A$ 为“ $m$ -强可分集合”．

(1)、判断集合 $\{2, 4, 8, 10, 12, 14, 20\}$ 是否为“2-强可分集合”，并说明理由；

(2)、求证：集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\}$ 一定不是“2-强可分集合”；

(3)、若集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (n \in N^{*}, n \geq 3)$ 是“1-强可分集合”．
①证明： $n$ 为奇数；
②求集合 $A$ 中元素个数的最小值．

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5、已知函数 $f (x) = a \cdot 3^{x + 1} - \frac{b}{3^{x}} + k$ 是定义在 $R$ 上的偶函数．

(1)、请写出 $a, b$ 满足的关系式；

(2)、若 $b = 1$ ，请判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明；

(3)、在第二问的条件下， $g (x) = |x - k|$ ，对任意的 $x_{1} \in [- 1, 1]$ ，存在 $x_{2} \in [3, 5]$ ，使得 $|f (x_{1})| \leq g (x_{2})$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 4^{x} (1 + \frac{1}{2^{x}})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $a \in R$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} - a^{2} x) + f (a^{3} - a x) > 0$ ．

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7、已知 $U = R, M = {x | x | \frac{2}{2 - x} \leq - 1}, N = \{x ∣ (x - 1) \cdot (x - m) \geq 0\}$ ．

(1)、若 $m = 3$ ，求图中阴影部分表示的集合；

(2)、若“ $x \in M$ ”是“ $x \in N$ ”的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围．

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8、经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数 $f (t)$ （千人）与时间 $t$ （天）的函数关系近似满足 $f (t) = 4 + \frac{1}{t} (t \in N^{*})$ ，人均消费 $g (t)$ （元）与时间 $t$ （天）的函数关系近似满足 $g (t) = \{\begin{array}{l} 100 t (1 \leq t \leq 7, t \in N^{*}) \\ 120 - t (7 < t \leq 30, t \in N^{*}) \end{array}$ ．

(1)、求该商场的日收益 $h (t)$ （千元）与时间 $t$ （天） $(1 \leq t \leq 30, t \in N^{*})$ 的函数关系式；

(2)、求该商场日收益的最小值．

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9、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + y = 1$ ，若不等式 $x^{3} + x^{2} - m x y - m y + y^{3} \geq 0$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为．

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10、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x - 2) [f (x) - f (- x)] > 0$ 的解集为．

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11、lg $\frac{1}{4}$ －lg25＝.

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12、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $a \in D$ ，存在唯一的实数 $b \in D$ 满足 ${log}_{2} [2 f^{2} (a) - 4 f (a) + 3] = f (b)$ ，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = e^{x} + 1$ D、 $f (x) = \sqrt{x}$

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13、根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）是车流密度 $x$ （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度 $x \geq 200$ 时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度 $x \leq 20$ 时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当 $20 \leq x \leq 200$ ，车流速度 $v$ 是车流密度 $x$ 的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） $f (x) = x \cdot v (x)$ ．下列说法正确的是（）

A、若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B、若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C、当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D、车流量最大值可以达到约为3333辆/小时

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14、下列函数中，在区间 $(0, 2)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{x + 2}{x}$ B、 $y = x + \frac{4}{x}$ C、 $y = \{\begin{array}{l} - \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2^{- x} + 1, 1 \leq x < 2 \end{array}$ D、 $y = \sqrt{4 x - x^{2}}$

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15、已知函数 $f (x) = |x^{2} - a x - 2| + a x$ ，若不等式 $f (x) \geq - 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[- \sqrt{2}, - 1] \cup [1, \sqrt{2}]$ D、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

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16、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x - 1} - 1}{2^{x - 1} + 1} - 1$ 在 $x \in [1 - a, 1 + a]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则下列式子一定成立的是（）

A、 $m - M = - 4$ B、 $m + M = - 4$ C、 $m - M = - 2$ D、 $m + M = - 2$

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17、已知命题 $p : \exists x \in [1, 2], 3 x^{2} - (a + 1) x + 1 < 0$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 2 \sqrt{3} - 1$ B、 $a \leq 2 \sqrt{3} - 1$ C、 $a \leq 3$ D、 $a > 3$

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18、“ $a > b$ ”的一个充分条件可以是（）

A、 $3^{b - a} > 3$ B、 $\frac{a}{b} > 1$ C、 ${|a|}^{- 1} > {|b|}^{- 1}$ D、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$

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19、已知函数 $f (2^{x})$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f (x^{2})$ 的定义域为（）

A、 $[1, 16]$ B、 $[- 2, - 1] \cup [1, 2]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[- 1, 1]$

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20、已知 $a > 0$ ，将 $\frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}}$ 表示成分数指数幂的形式，其结果是（）

A、 $a^{- 1}$ B、 $a^{- \frac{2}{3}}$ C、 $a^{- \frac{1}{2}}$ D、 $a^{\frac{2}{3}}$

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