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相关试卷

1、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c \cos B = 2 a \cos A - b \cos C$ ， BC边上一点D满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且AD平分 $∠ B A C$ .若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、4

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2、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形， $A B$ 与 $C D$ 分别为该圆柱的上、下底面的一条直径，若从点 $A$ 出发绕圆柱的侧面到点 $C$ 的最小距离为 $\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{9}}$ ，则直线 $A B$ 与直线 $C D$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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3、已知 $A, B$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ （ $c$ 为椭圆 $E$ 的半焦距）上存在点 $C$ ，使得 $△ A B C$ 是顶角为 $120 °$ 的等腰三角形，且 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则椭圆 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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4、平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足 $\vec{m} - 2 \vec{n} = (4, 3)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = - 2$ ，则 ${\vec{m}}^{2} + 4 {\vec{n}}^{2} =$ （）

A、25 B、21 C、17 D、13

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5、已知 $α$ 为锐角，且 $\tan α = 3 \sin α$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6、若复数 $z = \frac{5}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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7、已知集合 $M = \{x |x = 3 k - 2, k \in Z\}$ ， $N = \{x |- 4 < x < 4\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 2, 1}$

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8、写出对任意 $x \in R$ ，都有 $sin (x + θ) = sin x sin θ + cos x cos θ$ 成立的一个θ的值：．

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9、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $C = \frac{π}{4}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则角 $B$ 大小为．

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10、已知函数 $f (x) = 2 cos x - cos 2 x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $[- 3, 3]$ B、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 关于 $x = k π (k \in Z)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3}, π]$ 上单调递减

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11、已知无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2018} < S_{2019}$ 且 $S_{2019} > S_{2020}$ ，则（）

A、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}$ 最大； B、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2019}$ 最大 C、 $a_{2020} > 0$ D、当 $n \geq 2020$ 时， $a_{n} < 0$

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12、对于 $△ A B C$ ，有如下判断，其中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 $cos A = cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $a = 8, c = 10, B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个

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13、如果 $\forall n \in Z^{+}$ ， $(a_{n + 1} - a_{n}) (b_{n + 1} - b_{n}) \geq 0$ ，那么称数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ “同增减”，以下说法中错误的是（）

A、两个单调递增数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 是同增减的 B、 $\forall c \in R$ 和任意数列 $\{a_{n}\} .$ 有 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n} = c a_{n}\}$ 同增减 C、 $\forall c \in R$ 和任意数列 $\{a_{n}\} .$ 有 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n} = c + a_{n}\}$ 同增减 D、 $\forall c \in R^{+}$ 和任意正数数列 $\{a_{n}\},$ 有 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n} = a_{n}^{c}\}$ 同增减

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14、在 $△ A B C$ 中，已知 $\frac{a \sin A}{a^{2} + c^{2} - b^{2}} = \frac{b \sin B}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰或直角三角形 D、等边三角形

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15、已知集合 $A = \{x |(x + 1) (x - 2) \leq 0\}$ ， $B = \{x |x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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16、（1）证明： $\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$ ；
（2）当 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ 时，利用所给图形证明（1）中等式；
（3）如图， $△ A B C$ 的外接圆半径为1， $A B > B C$ ， $∠ A B C$ 的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作 $D M ⊥ A B$ 于点M，利用（1）中等式，证明： $2 A M = B A + B C$ ．

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17、如图，双曲线 $C_{1} : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与 $C_{1}$ 有相同的渐近线和焦距．过 $C_{1}$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作 $C_{2}$ 的两条切线，切点分别为A，B，A在 $x$ 轴上方，连接AB交 $C_{1}$ 于点M．
（注：过曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 外一点 $(x^{'}, y^{'})$ 作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为 $\frac{x^{'} x}{m} + \frac{y^{'} y}{n} = 1$ ）

(1)、求双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、证明：直线AB与 $C_{1}$ 切于点M，且 $| A M | = | B M |$ ；

(3)、当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在第三象限，且 $P M // B F_{2}$ 时，求 $S_{△ M F_{1} F_{2}}$ 的值．

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18、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = C D = B D = 2$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ．异面直线 $A C$ 和 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，点 $F$ 是线段 $A D$ 上的一个动点．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若二面角 $B - C F - D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{7}$ ，求 $D F$ ．

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} + x$ ．数列 $\{x_{n}\} (x_{n} < - 1)$ 的首项 $x_{1} = \frac{e}{1 - e}$ ．以后各项按如下方式取定：记曲线 $y = f (x)$ 在 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 处的切线为 $l_{n}$ ，若 $f^{'} (x_{n}) \neq 0$ ，则记 $l_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标是 $x_{n + 1}$ ．

(1)、证明：数列 $\{\ln \frac{x_{n}}{x_{n} + 1}\}$ 为等比数列；

(2)、设 $a_{n} = \ln \frac{x_{n}}{x_{n} + 1}$ ，求数列 $\{n \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20、甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．

(1)、若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；

(2)、若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．

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