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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，顶点 $P$ 在底面的投影 $O$ 恰为正方形 $A B C D$ 的中心且 $A B = \sqrt{2}$ ，设点 $M 、 N$ 分别为线段 $P D$ 、 $P O$ 上的动点，已知当 $A N + M N$ 取最小值时，动点 $M$ 恰为 $P D$ 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{25 π}{4}$ D、 $\frac{64 π}{9}$

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2、若D为椭圆 $Q : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆Q的左右焦点， $G$ 为圆 $C_{1} : {(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 上任意一点，则 $|D G| - |D F_{1}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $2 - \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5} - 4$

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3、已知点 $P (1, 1)$ ，直线 $l : y = k x + 1$ ，则点P到直线l的距离的取值范围是（）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[0, 1)$ D、 $[0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$

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4、已知集合 $U = \{x \in Z |x^{2} < 9\}$ ，集合 $A = \{- 2, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $(- 1, 1)$

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5、已知 $\tan α$ ， $\tan β$ 是方程 $3 x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的两个根，则 $\tan (α + β)$ 的值为（）．

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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6、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\cos (A - B) - \cos (A + B) = \frac{3}{4}$ ，且 $a b = \frac{3}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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7、已知直线 $l_{1} : x - y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + y - 8 = 0$ ，设直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为P，点Q的坐标为 $(1, 2)$ ．

(1)、求经过点Q且与直线 $l_{1}$ 平行的直线方程；

(2)、求线段 $P Q$ 的中垂线方程．

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8、已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据 $15$ ，此时样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 15$ ， $s^{2} < 3$ B、 $\bar{x} < 15$ ， $s^{2} > 3$ C、 $\bar{x} = 15$ ， $s^{2} > 3$ D、 $\bar{x} = 15$ ， $s^{2} < 3$

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9、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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10、定义在区间D上的函数 $y = f (x)$ ，若存在正数K，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq K | x_{1} - x_{2} |$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 在区间D上满足K-条件．若函数 $f (x) = (x + 1) \ln x - 2 x + 2$ 在区间 $[\frac{1}{e}, 1]$ 上满足K-条件，则K的最小值为．

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11、已知函数 $f (x) = - x ln x + 2 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间以及极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1, e^{2}]$ 上的最值.

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12、若函数 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + a x (a \in R)$ 的图象存在对称轴，则 $f (x)$ 的最小值为．

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13、记 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n + 2}} b_{n}$ ，求证： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < \frac{5}{2}$ .

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14、从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{42}$

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 有相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且右焦点 $F_{2}$ 到上顶点的距离为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过椭圆 $E$ 左焦点 $F_{1}$ ，且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ F_{2} M N$ 的面积．

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16、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， M，N为线段 $A B$ 上两点，且 $∠ M C N = 30 °$ ．

(1)、若 $C M ⊥ A B$ ，求 $\vec{C M} \cdot \vec{C B}$ 的值；

(2)、设 $∠ A C M = θ$ ，试将 $△ M C N$ 的面积S表示为 $θ$ 的函数，并求其最大值．

(3)、若 $B N = \frac{\sqrt{6}}{8} A M$ ，求 $\cos ∠ A C M$ 的值．

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17、某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；

(2)、在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算）

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18、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{π}{12}, \sin \frac{π}{12})$ ， $\vec{b} = (\sin α, \cos α)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $\tan α$ ；

(2)、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，
①求 $\sin (α + \frac{π}{12})$ ；
②已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\cos 2 α$ .

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19、已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{3 b - c}{4 b}}$ ，则 $\frac{2 a}{b}$ 的取值范围是.

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20、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $|\vec{c}| =$ .

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