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相关试卷

1、如图，已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为2，E为棱PC中点，则异面直线 $B E$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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2、已知函数 $f (x) = a \ln (x - 1) + \frac{1}{4} x^{2} + 1$ ， $g (x) = f (x) + \frac{1}{e^{x}} - {(\frac{1}{2} x - 1)}^{2}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若任意 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{g (x_{2}) - g (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \geq 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、

(1)、求函数 $f (x) = \frac{\ln (x^{2} + 3 x - 18)}{\sqrt{x - 5}}$ 的定义域，以及 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域；

(2)、已知函数 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

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4、甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种.（用数字作答）

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} ， g (x) = \ln x - b x$ ，若对任意 $x_{1} \in$ （0，2]，存在 $x_{2} \in$ [1，2]，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数b的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{e}}{e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} \ln 2 - 1 ， + \infty)$

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6、已知 $a > 0$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (a, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ 时，不等式 $x_{1} \cdot ln x_{2} - x_{2} \cdot ln x_{1} < 4 \cdot (x_{1} - x_{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[e, + \infty)$ C、 $[e^{4}, + \infty)$ D、 $[e^{5}, + \infty)$

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7、已知 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |2 x - a < 0\}$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{a |a > 4\}$ B、 $\{a |a \geq 4\}$ C、 $\{a |a > 2\}$ D、 $\{a |a \geq 2\}$

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8、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{1,2,4,6,8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{1, 2, 4, 6\}$ D、 $\{1, 2, 4, 8\}$

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调性和极值.

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个正零点 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，
（ⅰ）求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ；
（ⅱ）当 $x > 0$ 时，不等式 $(2 e^{2 x} - b e^{x} + c) \cdot f (x) \geq 0$ 恒成立，求证： $b > 4 a$ .

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10、某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为 ${300m}^{3}$ ，深度为 $3m$ .池底每平方米的造价为 $100$ 元，池壁每平方米的造价为 $50$ 元，设计水池的最低总造价约为（）

A、 $12000$ 元 B、 $15000$ 元 C、 $16000$ 元 D、 $24000$ 元

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11、已知函数 $f (x) = 3 {log}_{2} x - 2 (x - 1)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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12、已知点 $A (2, 3), B (- 1, 7)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 方向相反的单位向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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13、如图， $A B$ 是圆O的直径， $A D$ 垂直于圆O所在的平面， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ，点C是圆O上不同于 $A, B$ 的任意一点，E为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若直线 $B D$ 与平面 $A C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $O - C E - B$ 的余弦值；

(3)、若点 $P$ 为圆O（含圆周）内任意一点，它到点 $A$ 的距离与到直线 $B D$ 的距离相等，求三棱锥 $P - A B D$ 体积的取值范围．

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14、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A P = A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 是线段 $B C$ 上的一点，且 $A E = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离.

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15、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 \sqrt{3} a c \sin B = (a + b + c) (a + b - c)$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $a + b = 7$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16、甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲胜丙的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙胜丙的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立.

(1)、若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率；

(2)、求乙最终获胜的概率.

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17、已知向量 $\vec{a} = (sin x, cos x - sin x)$ ， $\vec{b} = (2 \sqrt{3} cos x, cos x + sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值

(2)、若对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ， ${[f (x)]}^{2} - 2 f (x) - a = 0$ 都有解，求实数a的取值范围

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18、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 ° ， B C = 1 ，$ 点D为 $A B$ 的中点，点 E 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A E} = m \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}, \vec{C F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为.

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19、用铁水灌注上、下底面的边长分别为 $2 cm$ 和 $6 cm$ 的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为 $2 \sqrt{3} cm$ ，则所需铁水的体积为．（灌注过程中铁水无额外损耗）

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20、在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（）

A、事件 $A, B$ 为互斥事件 B、事件 $A, B$ 为相互独立事件 C、 $P (C) = \frac{1}{6}$ D、 $P (D) = P (A) + P (B) + P (C)$

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