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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x \ln x + a x^{2}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线经过坐标原点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，求 $a$ 的取值范围．

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2、已知数列 $\{a_{n}\} ， \{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} ＝ 1$ ，且 $- a_{n}, a_{n ＋ 1}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - b_{n} ＝ 0$ 的两个根．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $c_{n} ＝ \frac{2}{b_{n}} + {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前21项和 $S_{21}$ ．

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3、有 $m$ 个大小外观一致、重量各不相同的小纸箱和一个天平，设 $a_{m}$ 为确保找到第二重的小纸箱时使用天平的最少次数．则 $a_{8} ＝$ ； $a_{31} ＝$ ．

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4、圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} ＝ 1$ ，一束光线从 $C$ 的右焦点 $F$ 射出．经过 $C$ 反射后到达点 $Q (6 ， 6)$ ．则光线从 $F$ 到 $Q$ 所经过的路径长为．

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5、已知函数 $f (\tan x) ＝ \cos^{2} x - \sin 2 x$ ，则 $f (1) ＝$ ．

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6、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x)$ 为奇函数， $f (2) ＝ - f (1) \neq 0$ ，且对任意 $x ， y \in R$ ， $f (x ＋ y) ＝ f (x) f^{'} (y) ＋ f^{'} (x) f (y)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (1) ＝ 0$ B、 $f (2025) ＝ 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f^{'} (k) = 0$

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7、如图，已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中心为 $M$ ，将四棱锥 $M - A D D_{1} A_{1}$ 绕直线 $D D_{1}$ 顺时针旋转 $θ (0 < θ \leq 90^{\circ})$ 之后，得到新的四棱锥 $M^{'} - A^{'} D D_{1} A_{1}^{'}$ ，则（）

A、 $∠ M D M^{'} ＝ θ$ B、当 $θ ＝ 90^{\circ}$ 时，四棱锥顶点 $M$ 运动的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、当 $θ ＝ 90^{\circ}$ 时，平面 $M D D_{1} / /$ 平面 $M^{'} A^{'} A_{1}^{'}$ D、存在旋转的角度 $θ$ ，使得 $M, M^{'}, A, B$ 四点共面

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8、生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关．有人调查了10名男大学生的身高 $y$ （单位： $cm$ ）及其父亲身高 $x$ （单位： $cm$ ）的数据 $(x_{i}, y_{i}) (i ＝ 1, 2, \dots, 10)$ ，已知其中一组数据为 $(182, 185)$ ，且 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 1750$ ，求得经验回归方程为 $\hat{y} ＝ 0.65 x + 63$ ，并绘制了如下残差图（残差 $＝$ 观测值 $-$ 预测值），则

A、这10名男大学生的身高的平均值为176.75 B、由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型 C、数据 $(182, 185)$ 对应的残差为3.7 D、去掉数据 $(182, 185)$ 后，重新求得的回归直线的决定系数 $R^{2}$ 变小

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9、已知函数 $f (x) ＝ \{\begin{cases} x \ln (\sqrt{1 ＋ x^{2}} ＋ x) + a, x < 0 \\ \cos x, x \geq 0 \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ．已知 $A ＝ 120^{\circ}$ ，且 $A$ 的内角平分线 $A D ＝ \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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11、如图，已知矩形 $A B C D$ 的边长满足 $A B = 2 A D = 4$ ，以 $A$ 为圆心的圆与 $B D$ 相切于 $P$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} ＝$ （）

A、 $\frac{32}{5}$ B、 $\frac{36}{5}$ C、8 D、 $4 \sqrt{5}$

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12、若 ${(\frac{1}{x} ＋ a x^{2} ＋ 1)}^{5}$ 的展开式中的常数项为31，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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13、将函数 $f (x) = 4 \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 是奇函数 B、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[- 2 ， 4]$ D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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14、已知抛物线 $Γ ： y^{2} ＝ 2 p x (p > 0)$ 上的点 $A$ 的横坐标为4，抛物线 $Γ$ 的焦点为 $F$ ．若 $|A F| = 5$ ，则 $p$ 的值为（）

A、18 B、9 C、4 D、2

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15、设集合 $A ＝ {x \in N ∣ (x - 2) (x - 10) \leq 0} ， B ＝ {x ∣ x ＝ 2 n, n \in N}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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16、复平面上 $A ， B$ 两点对应的复数分别是 $1 ＋ 3 i ， - 2 ＋ i$ ，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $z$ ，则 $|z| ＝$ （）

A、17 B、 $\sqrt{17}$ C、13 D、 $\sqrt{13}$

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17、已知数表 $A_{2 n} = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \end{array})$ ，其中 $a_{i j} (i = 1, 2; j = 1, 2, \dots, n)$ 表示数表中第 $i$ 行第 $j$ 列的实数， $a_{i j}$ 互不相同，且满足下列条件：① $a_{i j} \in \{x \in N | 1 \leq x \leq 2 n\}$ ；② ${(- 1)}^{m + 1} (a_{1 m} - a_{2 m}) < 0 (m = 1, 2, \dots, n)$ .

(1)、对于数表 $A_{22}$ ，若 $a_{12} = 4$ ，写出所有满足条件的数表 $A_{22}$ ；

(2)、对于数表 $A_{2 n}$ ，当 $a_{11} + a_{12} + \cdot \cdot \cdot + a_{1 n}$ 取最小值时，求证：存在正整数 $k (1 \leq k \leq n)$ ，使得 $a_{2 k} = 2 n$ ；

(3)、对于数表 $A_{2 n}$ ，当n为偶数时，求 $a_{11} + a_{12} + \cdot \cdot \cdot + a_{1 n}$ 的最大值.

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4$ ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的左焦点， $T$ 为直线 $x = - 3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $T F$ 的垂线交 $C$ 于点 $P$ ， $Q$ .
（i）证明： $O T$ 平分线段 $P Q$ （其中 $O$ 为坐标原点）；
（ii）设线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，若 $△ O F T$ 与 $△ O P M$ 面积之积是 $\sqrt{2}$ ，求点 $T$ 的纵坐标.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 2$ ， $A B = B C = C D = 1$ ， $B C / / A D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $A D$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $C - P D - B$ 的余弦值.

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20、已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 20$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + 3^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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