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相关试卷

1、如图，“水滴”是由线段 $A B, A C$ 和圆的优弧 $B C$ 所围成的封闭图形，其中 $A B, A C$ 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点 $A$ 到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为.

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2、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ ．

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $\{x| - 1 < x < 1\}$ ，求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (2) = 1$ ，且 $a > 0, b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值．

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3、若存在实数 $x$ 使得 $k x^{2} - 2 x + 1 < 0$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(0, 1)$ D、 $[0, 1)$

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4、已知P是 $△ A B C$ 所在平面内一点，满足 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 6$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C P} =$ （）

A、 $- 12$ B、12 C、 $- 18$ D、18

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5、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(3 - a) x - y + a = 0$ ，则条件“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不必要也不充分条件

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6、双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $x = \pm 2 y$ D、 $y = \pm 4 x$

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7、函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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8、已知复数 $\frac{z}{i^{3}} = - 3 - 4 i$ ，则|z|＝（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9、在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知 $2 a - b = 2 c \cos B$ ．

(1)、求角C；

(2)、若 $b = 4$ ，点D在边AB上，CD为 $∠ A C B$ 的平分线，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求边长a的值．

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10、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 b = c + 2 a \cos C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为9，面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求a.

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11、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n + 1} - 3$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和.

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12、设正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4 y}{x} + \frac{1}{y}$ 有最小值为5 D、 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 2}$ 有最大值为 $2 \sqrt{2}$

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13、甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，密码被成功破译的概率是（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{12}$

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $a_{3} = a_{1} a_{2}$ ， $a_{1} = a_{2} + 2 a_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{3}{a_{3}} + \dots + \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (x - 1, 2 x),$ 若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} | =$

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16、已知函数 $f (x) = a x - sin x, g (x) = ln (1 + 2 x) - a sin 2 x$ .当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证：（i） $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上存在极值点 $x_{1}$ 和零点 $x_{0}$ ；
（ii）对于（i）中的 $x_{1}$ 和 $x_{0}$ ，满足 $x_{1} < x_{0} < 2 x_{1}$ .

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别是 $F_{1} (- 2 \sqrt{3}, 0), F_{2} (2 \sqrt{3}, 0)$ ，并且经过点 $A (2 \sqrt{3}, 4)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线交双曲线的右支于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在第一象限），过点 $M$ 作直线 $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的垂线，垂足为 $D$ .
（i）求证：直线 $D N$ 经过定点；
（ii）记 $△ O D N$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的取值范围.

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18、2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为 $\frac{3}{10}, \frac{2}{5}, \frac{3}{10}$ .甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ .

(1)、若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；

(2)、若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为 $X$ 分，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、知识竞赛规则：随机从题库中抽取 $2 n$ 道题目，答对题目数不少于 $n$ 道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在 $n = 4$ 和 $n = 5$ 之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.

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19、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3, A B = 2, D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上， $B E = 2 E B_{1}$ .

(1)、证明： $C_{1} E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $A E C_{1}$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值.

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{10} = 310, S_{20} = 1220$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n}$ 为数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求使得 $T_{n} > \frac{3}{2} a_{n}$ 的 $n$ 的最小值.

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