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相关试卷

1、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq 2 m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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2、若函数 $f (x) = x |x - a| (0 \leq x \leq 2)$ 的最大值是1，则实数a的值是．

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3、已知函数 $f (x) = ln x - a x$ ， $g (x) = ln x + (a - 2) x$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 存在2个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $h (x) = |f (x)| + |g (x)|$ ，
①当 $a = 1$ 时，求 $h (x)$ 的最小值；
②若 $h (x)$ 的最小值为2，求 $a$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，且 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{8}{b}$ 的最小值是（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、8 D、9

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5、已知复数 $z = - 1 + i$ ，则 $z (\bar{z} + 1) =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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6、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{i - 1} = |2 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $i$ C、1 D、 $\sqrt{5} i$

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7、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $|S_{n}| = n$ ，则 $|a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{10}|$ 的值不可能为（）

A、96 B、98 C、100 D、102

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，且 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sin C}$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、求 $tan C$ 的值.

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9、现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 $T$ 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 $p$ ，分裂成两个新细胞的概率为 $1 - p$ ；新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期 $T$ 内开始分裂，记 $n (n \in N^{*})$ 个周期结束后，细胞的数量为 $X_{n}$ ，其中 $p \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求 $X_{2}$ 的分布列和数学期望；

(2)、求 $P (X_{n} = 2)$ ；

(3)、求证： $P (X_{n} = 3) < \frac{8}{27 p^{2}}$ .

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10、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 30 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 于 $F$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图2所示．

(1)、 $A E ⊥$ 平面 $B C D$

(2)、求二面角 $A - D C - B$ 的余弦值；

(3)、在线段 $A F$ 上是否存在点 $M$ 使得 $E M //$ 平面 $A D C$ ?若存在，求 $\frac{A M}{A F}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 5 a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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12、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A A_{1} = 2$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x, 0 < x < 2 \\ - 2 x + 8, x \geq 2 \end{cases}$ ，若 $f (a) = f (b), a < b$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, \sqrt{5} - 3]$ B、 $(- 4, - 1]$ C、 $(- 4, 1 - \sqrt{5}]$ D、 $(- 4, 3 + \sqrt{5}]$

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14、如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $3 k_{1} = 2 k_{2}$ ，则椭圆的离心率为．

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15、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 3, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, - m, - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、-2 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, a + 2]$ 上具有单调性，则实数a的取值范围是.

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17、已知数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - n, n \in N$ .
(1)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(2)若 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2 {log}_{2} a_{n} + 3, b_{1} = 3, b_{6} = 13$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2$ ， $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小.

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ .
（i）求 $c$ 的值.
（ii）求 $△ A B C$ 的面积.

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20、设全集 $U = R$ ，已知集合 $M = \{x | x \geq 1\}$ ， $N = {x | - 1 < x < 2}$ .求 $M \cap N$ 和 $∁_{U} M \cup N$ .

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