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相关试卷

1、函数 $f (x) = x + \frac{1}{2 x^{2}} (x > 0)$ ；

(1)、判断并用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性；

(2)、若 $x_{2} > x_{1} > 0, x_{1} + x_{2} = 2$ ，求证： $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b c = 8, ∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}, P$ 为CD上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $| \vec{A P} |$ 的最小值．

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3、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{e}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{e}| = 1$ ， $|\vec{b} - \vec{a}| = 1$ ， $< \vec{a}, \vec{e} > = \frac{2 π}{3}$ ，且对任意的实数 $t$ ，均有 $|\vec{c} - t \vec{e} |\geq| \vec{c} - 2 \vec{e}|$ ，则 $|\vec{c} - \vec{b}|$ 的最小值为.

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4、如图，函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像经过 $A (0, \sqrt{3}), B (\frac{π}{3}, 0)$ ，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、方程 $f (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$ 所有根的和为 $\frac{4 π}{3}$ C、若 $f (x + m)$ 为偶函数，则正数 $m$ 的最小值为 $\frac{π}{12}$ D、若 $f (λ x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上无零点，则正数 $λ$ 的取值范围为 $(0, \frac{2}{3}] \cup [1, \frac{5}{3}] \cup [\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ 则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4})$ C、若 $λ \vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ，则 $λ = - 2$ D、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 最大值为 $3$

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6、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = \frac{1}{2} f (x) f (y)$ ， $f (1) = 2$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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7、已知 $p : |\frac{b}{a}| < 1$ ， $q : b < |a|$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知集合 $A = \{x ∣ 2 x^{2} - 3 x > 0\}, B = (1, 2)$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(\frac{2}{3}, 2)$ B、 $[0, \frac{2}{3})$ C、 $(0, 2)$ D、 $(1, \frac{3}{2}]$

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9、设抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x$ （ $p$ 为常数，且 $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上且位于第一象限，过点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ．

(1)、若点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，求 $|H F|$ ．

(2)、设过 $F$ ， $A$ ， $H$ 三点可作椭圆 $C_{2}$ ，且 $C_{2}$ 的两个焦点均在 $x$ 轴上，记 $x$ 轴正半轴上的焦点为 $B$ ，且 $B$ 在 $F$ 的左侧．
（ⅰ）证明： $△ A H B$ 的周长为定值．
（ⅱ）证明： $C_{2}$ 的离心率大于 $\frac{1}{4}$ ．

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10、若直线 $m^{2} x - 8 y - 1 = 0$ 与直线 $m^{3} x + 4 y - 7 = 0$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + m x$ 在定义域上不是单调函数，则实数 $m$ 不可能是（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $- 2$

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12、如图， $△ A B C$ 内接于圆 $O, A B$ 为圆 $O$ 的直径， $C D ⊥$ 平面 $A B C, E$ 为线段 $A D$ 中点.

(1)、求证：平面 $B C E ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{5}, B C = 1, C D = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $B C E$ 与平面 $B D E$ 所成锐二面角的余弦值.

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13、菱形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $∠ A = 60^{\circ}, M$ 为 $C D$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ （）

A、 $2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ B、 $4 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{13}{2}$

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14、若 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $a (\ln b + 2) = (b + 1) (\ln a + 1)$ ，则（）

A、 $a > b$ B、 $a < b$ C、 $a^{2} > b$ D、 $a^{2} < b$

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15、给定正整数 $k \geq 2$ ，设集合 $A_{(n, k)} = \{(a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} \in \{1, \cdot \cdot \cdot, k\}\}$ ，若集合 $T \subseteq A_{(n, k)}$ ，且T中存在元素 $(a_{1}^{(1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(1)}), \cdot \cdot \cdot, (a_{1}^{(n + 1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(n + 1)})$ （ $(1), \cdot \cdot \cdot, (n + 1)$ 是为了区分元素而设置的角标），对任意的 $i \in \{1, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 满足 $a_{i}^{(1)} = \cdot \cdot \cdot = a_{i}^{(i)} < a_{i}^{(i + 1)} = \dots = a_{i}^{(n + 1)} (n \geq 1)$ ，则称集合T为集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”．

(1)、写出集合 $A_{(2, 2)}$ 的所有“典范子集”；

(2)、设集合 $A_{(2, 3)}$ 的子集 $T_{1}, \cdot \cdot \cdot, T_{s}$ 均不是集合 $A_{(2, 3)}$ 的“典范子集”，且 $T_{1} \cup \cdot \cdot \cdot \cup T_{s} = A_{(2, 3)}$ ，求s的最小值；

(3)、若集合 $A_{(n, k)}$ 的任意元素个数为m的子集都是集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）．

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16、设三角形 $A B C$ 满足 $b (1 - \cos C) = c \cos B$ ，其中 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边．

(1)、证明： $A C = B C$ ；

(2)、设三角形 $A B C$ 中， $D$ 为边 $A B$ 靠近 $A$ 的三等分点，且 $A B = 3$ ， $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，将三角形 $A B C$ 向上翻折（如图），若平面 $A C D ⊥$ 平面 $A C B$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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17、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} (x - b) (a, b \in R, a < b)$ .

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点， $x_{3}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，且 $x_{3} \neq x_{1}, x_{3} \neq x_{2}$ .是否存在实数 $x_{4}$ ，使得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求 $x_{4}$ ；若不存在，说明理由.

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18、小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从 $A_{1}$ ， $A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.

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19、小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是．

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20、在一个大球内放入4个完全相同的小球，任意两个小球都彼此相切，且它们都和大球相切，若每个小球的半径都是1，则大球的表面积为．

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