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相关试卷

1、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间一个基底，下列选项中错误的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两共面，但 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不可能共面 C、对空间任一向量 $\vec{p}$ ，总存在有序实数组 $(x, y, z)$ ，使 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ D、则 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$ 一定能构成空间的一个基底

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2、如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E、F分别是棱BC、 $C C_{1}$ 的中点，动点P在正方形 $B C C_{1} B_{1}$ （包括边界）内运动，若 $P A_{1} / /$ 平面AEF，则线段 $P A_{1}$ 长度的最小值是．

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3、在三角形 $A B C$ 中，内角 $A ､ B ､ C$ 所对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，已知 $a sin B = b cos (A - \frac{π}{6})$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $c = 2 b$ ，三角形 $A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求三角形 $A B C$ 的周长.

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4、下列结论正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4), \vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(1, 2, 2)$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ 则P，A，B，C四点共面 C、已知 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}}$ 也是空间的一组基底 D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3),$ 平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则直线 $l ⊥ α$

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5、在所有棱长均为2的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、6

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6、幂函数 $f (x) = (a^{2} + a - 5) x^{a}$ 的定义域是全体实数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) > (k + 1) x - 4$ 在区间 $[0, 4]$ 上恒成立，求实数k的取值范围.

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7、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + k x - 2 = 0$ 的一个根是1，则它的另一个根是（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- 2$ D、2

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，直线 $l : x - y + 2 = 0$ 交双曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 的面积．

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9、如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{A C}$ .

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10、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， M为椭圆上一点， $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{3}$ ， $O M = \frac{\sqrt{15}}{3} b$ ，则椭圆的离心率为．

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11、若直线 $l_{1} : 2 x - y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + m y + 1 = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为．

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12、已知 $A (2, 3, 1)$ ， $B (4, 1, 2)$ ，若点 $B$ 关于平面 $y O z$ 的对称点为 $C$ ，则 $A$ ， $C$ 两点间的距离为.

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13、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4, 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ B、 $5 |\vec{a}| = \sqrt{3} |\vec{b}|$ C、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 6 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{3}{10}, - \frac{2}{5}, - \frac{1}{2})$

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14、已知 $A 、 B$ 是圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 3$ 上的动点，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ． $P$ 是圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 的动点，则 $|\vec{P A} + \vec{P B}|$ 的取值范围是（）

A、 $[8, 12]$ B、 $[6, 10]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[6, 14]$

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15、已知点 $P$ 在抛物线 $M : y^{2} = 8 x$ 上，过点 $P$ 作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，若切线长为 $2 \sqrt{6}$ ，则点 $P$ 到 $M$ 的准线的距离为（）

A、5 B、6 C、7 D、 $4 \sqrt{2}$

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16、直线 $a x + b y - 1 = 0 (a > 0, b > 0)$ 等分圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的周长，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、4 C、6 D、18

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17、若 $(z - 1) (i + 1) = 2$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、过点 $P (1, 1)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为 $2$ 的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 2 = 0$ B、 $2 x - y + 4 = 0$ C、 $x + y - 2 = 0$ D、 $x - y + 2 = 0$

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19、多元导数在微积分学中有重要的应用.设 $y$ 是由 $a$ ， $b$ ， $c$ …等多个自变量唯一确定的因变量，则当 $a$ 变化为 $a + Δ a$ 时， $y$ 变化为 $y + Δ y$ ，记 $\lim_{Δ a \to 0} \frac{Δ y}{Δ a}$ 为 $y$ 对 $a$ 的导数，其符号为 $\frac{d y}{d a}$ .和一般导数一样，若在 $(a_{1}, a_{2})$ 上，已知 $\frac{d y}{d a} > 0$ ，则 $y$ 随着 $a$ 的增大而增大；反之，已知 $\frac{d y}{d a} < 0$ ，则 $y$ 随着 $a$ 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： $\frac{d (y_{1} + y_{2})}{d a} = \frac{d y_{1}}{d a} + \frac{d y_{2}}{d a}$ ；②乘法法则： $\frac{d (y_{1} y_{2})}{d a} = y_{2} \frac{d y_{1}}{d a} + y_{1} \frac{d y_{2}}{d a}$ ；③除法法则： $\frac{d (\frac{y_{1}}{y_{2}})}{d a} = \frac{(y_{2} \frac{d y_{1}}{d a} - y_{1} \frac{d y_{2}}{d a})}{y_{2}^{2}}$ ；④复合法则： $\frac{d y_{2}}{d a} = \frac{d y_{2}}{d y_{1}} \cdot \frac{d y_{1}}{d a}$ .记 $y = e^{x} + \frac{1}{e} x^{2} \ln x - \frac{1}{2 e} x^{2} - e x - a$ .（ $e = 2.7182818 \dots$ 为自然对数的底数），

(1)、写出 $\frac{d y}{d x}$ 和 $\frac{d y}{d a}$ 的表达式；

(2)、已知方程 $y = 0$ 有两实根 $x_{1}, x_{2}$ ， $x_{1} < x_{2}$ .
①求出 $a$ 的取值范围；
②证明 $\frac{d (x_{1} + x_{2})}{d a} > 0$ ，并写出 $x_{1} + x_{2}$ 随 $a$ 的变化趋势.

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20、已知椭圆 $C$ 的标准方程 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，其左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．

(1)、过点 $H (- 2, 0)$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $A F_{1} ⊥ B F_{1}$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1}, l_{2}$ 过右焦点 $F_{2}$ ，且它们的斜率乘积为 $- \frac{1}{2}$ ，设 $l_{1}, l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $C, D$ 和 $E, F$ ．若 $M, N$ 分别是线段 $C D$ 和 $E F$ 的中点，证直线 $M N$ 过定点，并求 $△ O M N$ 面积的最大值．

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