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相关试卷

1、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，如果 $\forall x \in I$ ，都有 $2 a - x \in I$ ，满足 $f (2 a - x) = - f (x)$ ，那么函数 $f (x)$ 的图象称为关于点 $A (a, 0)$ 的中心对称图形，点 $A (a, 0)$ 就是其对称中心．如果 $\exists x_{0} \in I$ ，且 $x_{0} \neq a$ ，使得 $2 a - x_{0} \in I$ ，满足 $f (2 a - x_{0}) = - f (x_{0})$ ，那么函数 $f (x)$ 的图象称为关于点 $A (a, 0)$ 的弱中心对称图形，点 $A (a, 0)$ 就是其弱对称中心．

(1)、若函数 $f (x) = {(x + 1)}^{3} + x - m$ 的图象是关于点 $A (- 1, 0)$ 的中心对称图形，求实数 $m$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x) = x |x - 1|$ 的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；

(3)、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - m x, x \geq 2, \\ x + 1, x < 2 \end{array}$ 的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为 $(1,0)$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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2、为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本 $5$ 万元，当年产量 $x$ （单位：万件）低于 $10$ 万件时，流动成本 $W (x) = \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ （万元），当年产量 $x$ （单位：万件）不低于 $10$ 时， $W (x) = 8 x + \frac{144}{x} - 50$ （万元）.经调研，每件水果箱售价为 $7$ 元，每年加工的水果箱能全部售完.

(1)、求年利润 $f (x)$ 关于年产量 $x$ （单位：万件）的函数关系式；（注：年利润 $=$ 年销售额 $-$ 固定成本 $-$ 流动成本）

(2)、求年产量 $x$ （单位：万件）为多少时，年利润 $f (x)$ 取得最大值，并求出 $f (x)$ 的最大值.

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3、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 1$ 有两个相等实根，且不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ ．当 $a > b > 0$ 时，在 $[b, a]$ 上 $f (x)$ 的取值范围为 $[\frac{1}{a}, \frac{1}{b}]$ ，则 $a =$ ， $b =$ ．

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4、关于x的不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ （其中 $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ），其解集可能是（）

A、 $\emptyset$ B、R C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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5、已知 $x$ ， $y$ 为正实数，则“ $\frac{y + 2}{x + 2} < \frac{y}{x}$ ”是“ $x < y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知 $a > 1$ 且 $\frac{1}{{log}_{8} a} - \frac{1}{{log}_{a} 4} = - \frac{5}{2}$ ，则 $a =$ ．

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7、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ，集合 $A = \{x \in N |x < 5\}$ ， $B = \{1, 3, 5, 7\}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 $\{0, 2, 4\}$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $A \cap (∁_{U} B)$ D、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$

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8、幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 4$ B、 $m = 4$ 或 $m = - 1$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 是偶函数

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9、命题 $p : \exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + a \leq 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + a \leq 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + a \leq 0$ C、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + a > 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + a > 0$

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10、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且在区间 $[0, 1)$ 上单调递增，在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递减， $f (2) = 0$ ，则不等式 $x f (- x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2] \cup [0, 2]$ B、 $[- 2, 0] \cup [2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2] \cup \{0\} \cup [2, + \infty)$ D、 $[- 2, 2]$

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11、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 1, 1, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{b}| =$ .

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12、已知函数 $f (x) = x - a \ln x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 2$ ，求 $a$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $x - a \ln x = 0$ 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 $x_{0}$ ，求证： $(a - 1) x_{0} > a$ .

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前四项和为10，且 $a_{2}, a_{3}, a_{7}$ 成等比数列
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式
（2）设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

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14、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $f (A) = 1$ ， $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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15、若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{1}{\sin α \cos α} =$ .

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16、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一动点，则（）

A、 $B C = 2 \sqrt{7}$ B、当 $A D$ 为角 $A$ 的角平分线时， $A D = \frac{12 \sqrt{3}}{5}$ C、当 $D$ 为边 $B C$ 中点时， $A D = 3 \sqrt{2}$ D、若点 $P$ 为 $△ A B C$ 内任一点， $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为 $- \frac{19}{4}$

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17、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象 D、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称

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18、已知 $z_{1} = 3 + 2 i, z_{2} = 4 - i$ ，则（）

A、 $z_{1} + z_{2}$ 的虚部为 $- 1$ B、 $4 z_{1} - 3 z_{2}$ 是纯虚数 C、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于第一象限 D、 $|\frac{z_{2}}{i}| = |z_{1}| + 4$

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19、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，不等式 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- \infty, - 2)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(2, + \infty)$

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20、已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) - s i n α = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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