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相关试卷

1、已知圆 $M$ 与直线 $3 x - \sqrt{7} y + 4 = 0$ 相切于点 $(1, \sqrt{7})$ ，圆心 $M$ 在 $x$ 轴上.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若过点 $(1, 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 交于 $P, Q$ 两点，当 $|P Q| = 2 \sqrt{7}$ 时，求直线 $l$ 的一般式方程；

(3)、过点 $M$ 且不与 $x$ 轴重合的直线与圆 $M$ 相交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O A, O B$ 分别与直线 $x = 8$ 相交于 $C, D$ 两点，记 $△ O A B, △ O C D$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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2、如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱与底面垂直，且 $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ､ $N$ 分别是 $C C_{1}$ 、 $B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、求直线AM与直线PN所成角的大小；

(2)、当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ 时，求实数 $λ$ 的值.

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3、如图，等边 $△ A B C$ 和等边 $△ D B C$ 所在的平面互相垂直，求：

(1)、直线 $B C$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值；

(2)、平面 $A B D$ 和平面 $B D C$ 的夹角的余弦值.

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4、直线l： $(λ + 3) x + (λ - 1) y - 4 λ = 0$ （其中 $λ \in R$ ）.

(1)、求直线l所经过的定点P的坐标；

(2)、若向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，求直线 $l$ 的一般式方程.

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5、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点 $P$ 到两定点 $A 、 B$ 的距离之比等于定值 $λ （ λ > 0 且 λ \neq 1 ）$ ，则 $P$ 点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (6, 0)$ ，满足 $| M A | : | M O | = 2 : 1$ 的动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ，若在直线 $l : x - a y + 6 a = 0$ 上存在点 $P$ ，在曲线 $C$ 上存在两点 $D 、 E$ ，使得 $P D ⊥ P E$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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6、已知在平面直角坐标系中，点 $P$ 到两定点 $(3, 0)$ ， $(- 3, 0)$ 的距离之和为8，则点 $P$ 的轨迹方程为.

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7、已知随机事件A，B，C， $A$ 与 $B$ 相互独立， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = 0.6$ ， $P (C) = 0.3$ ，则 $P (A B) =$ .

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8、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ 和圆外一点 $P (2, - 1)$ ，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A, P B$ ，其中 $A, B$ 是切点，则下列结论正确的是（）.

A、 $|P A| = 2 \sqrt{2}$ B、 $P C ⊥ A B$ C、四边形 $P A C B$ 的面积为8 D、点 $P$ 在 $△ A B C$ 外接圆的外部

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9、已知 $2 b = a + c$ ，直线 $a x + b y + c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y - 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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10、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x - y + 2 z = 1$ ，点 $Q (3, - 1, 1)$ ，则点 $Q$ 到平面 $α$ 距离为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{102}}{102}$ D、 $\frac{\sqrt{102}}{34}$

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11、已知一条光线从点 $(4, 0)$ 发出被直线 $x + y - 10 = 0$ 反射，若反射光线过点 $(0, 1)$ ，则反射光线所在的直线方程为（）

A、 $x - 2 y + 2 = 0$ B、 $3 x - 2 y + 2 = 0$ C、 $2 x - 3 y + 3 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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12、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B M}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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13、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0, - 2)$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $4$ C、 $7$ D、 $9$

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14、直线 $y = x + 1$ 的倾斜角为（）

A、30° B、45° C、60° D、135°

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ，向量 $\vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- 3$ C、 $- 6$ D、 $- 9$

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16、已知函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 在闭区间 $[0, m]$ 上有最大值3，最小值2，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[0, 2]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[1, 2]$

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17、在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时 $t (n)$ （单位：小时）大致服从的关系为 $t (n) = \{\begin{array}{l} \frac{t_{0}}{\sqrt{n}}, n < N_{0} \\ \frac{t_{0}}{\sqrt{N_{0}}}, n \geq N_{0} \end{array}$ （ $t_{0}, N_{0}$ 为常数）．已知第9天检测过程平均耗时为16小时，第36天和第40天检测过程平均耗时均为8小时，那么第25天检测过程平均耗时大致为（）

A、8小时 B、9.6小时 C、11.5小时 D、12小时

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18、设函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + 2$ ，其中 $t \in R$ .

(1)、若 $t = 1$ ，
（i）当 $x \in [0, 3]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值；
（ii）对任意的 $x \in [0, a + 2]$ ，都有 $f (x) \leq 5$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, 4]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 8$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{a} + 2 \begin{matrix} x > 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} (6 - a) x & x \leq 1 \end{matrix} \end{matrix}$ ，若对于任意的两个不相等实数 $x_{1}, x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则实数 $a$ 的可能取值是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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20、若函数 $g (x)$ 在定义域 $[c, d]$ 上的值域为 $[g (c), g (d)]$ ，则称 $g (x)$ 为“ $Ω$ 函数”.已知函数 $g (x) = \{\begin{cases} 5 x, 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + n, 2 < x \leq 4 \end{cases}$ 是“ $Ω$ 函数”，则实数 $n$ 的取值范围是（）

A、 $[4, 10]$ B、 $[4, 14]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[10, + \infty]$

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