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相关试卷

1、下列说法正确的是（　　）

A、由 $1, 2, 3$ 组成的集合可表示为 $\{1, 2, 3\}$ 或 $\{3, 2, 1\}$ B、 $\emptyset$ 与 $\{0\}$ 是同一个集合 C、集合 $\{x | y = x^{2} - 1\}$ 与集合 $\{y | y = x^{2} - 1\}$ 是同一个集合 D、集合 $\{x | x^{2} + 5 x + 6 = 0\}$ 与集合 $\{- 2, - 3\}$ 是同一个集合

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2、天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量 $a$ 万件与投入的促销费用 $x$ 万元 $(x \geq 0)$ 满足关系式 $a = 8 - \frac{k}{x + 1}$ （ $k$ 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为 $(36 + \frac{10}{a})$ 元，设该产品的利润为 $y$ 万元.（注：利润 $=$ 销售收入 $-$ 投入成本 $-$ 促销费用）

(1)、求出 $k$ 的值，并将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)、促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？

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3、已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\{a |a > \frac{1}{3}\}$ B、 ${a | 0 < a < \frac{1}{3}}$ C、 ${a | a \geq \frac{1}{3}}$ D、 ${a | a \leq \frac{1}{3}}$

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4、已知集合 $A = \{x |x < - 3$ 或 $x \geq 7\}$ ， $B = {x | 2 a < x < a + 5}$ ，且 $B$ 是 $A$ 的真子集，则 $a$ 的取值可能为（）

A、3 B、 $- 8$ C、3.5 D、6

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5、某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800 $m^{3}$ ，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？

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6、命题“ $\forall x > 2$ ， $x^{3} - 4 x > 0$ ”的否定是

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2}, - 1 < x < 2 \end{array}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (f (- 1)) = 1$ B、若 $f (x) = 3$ ，则x的值是 $\sqrt{3}$ C、 $f (x) < 1$ 的解集为 $(- \infty, 1)$ D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 4)$

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8、设集合 $A = \{x |(x - 2) (x - a) \leq 0\}$ ， $B = \{x |3 < x < 7\}$ ，若 $A \cap B$ 中恰含有3个整数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(5, 6]$ B、 $[6, 7]$ C、 $[6, + \infty)$ D、 $(6, 7]$

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9、下列关系中，正确的是（）

A、-2 $\in$ N₊ B、 $\frac{3}{2} \in$ Z C、π $\notin$ Q D、5 $\notin$ N

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10、集合 $U, S, T, F$ 的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（）

A、 $S \subseteq T$ B、 $T \subseteq ∁_{U} F$ C、 $F \subseteq ∁_{U} S$ D、 $T \subseteq ∁_{U} (S \cap F)$

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{sin A - sin B}{sin C - sin B} = \frac{c}{a + b}$ ，则 $A =$ .

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12、教材中的基本不等式可以推广到 $n$ 阶： $n$ 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} > 0$ ，则有 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n}}, n \in N^{*}, n \geq 2$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时取等.利用此结论解决下列问题：

(1)、若 $x, y, z > 0$ ，求 $\frac{y}{x} + \frac{2 z}{y} + \frac{4 x}{z}$ 的最小值；

(2)、若 $x \in (0, \frac{1}{2})$ ，求 $x^{3} (1 - 2 x)$ 的最大值，并求取得最大值时的 $x$ 的值；

(3)、对任意 $k \in N^{*}$ ，判断 ${(1 + \frac{1}{k})}^{k}$ 与 ${(1 + \frac{1}{k + 1})}^{k + 1}$ 的大小关系并加以严格证明.

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13、用 $Card (A)$ 表示非空集合 $A$ 中的元素的个数，定义 $A * B = |Card (A) - Card (B)|$ ，若 $A = \{- 1, 1\}$ ， $B = \{x ∣ (a x^{2} + 3 x) (x^{2} + a x + 2) = 0\}$ ，若 $A * B = 1$ ，设实数 $a$ 的所有可能取值构成集合 $S$ .则 $Card (S) =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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14、在棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．过AE的截面与棱 $B B_{1}, A_{1} C_{1}$ 分别交于点F，G．

(1)、若F为 $B B_{1}$ 的中点，试确定点G的位置，并说明理由；

(2)、在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；

(3)、设截面AFEG的面积为 $S_{0}$ ， $△ A E G$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ A E F$ 面积为 $S_{2}$ ，当点F在棱 $B B_{1}$ 上变动时，求 $\frac{S_{0}^{2}}{S_{1} S_{2}}$ 的取值范围．

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15、《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.
质量指标
$(25, 35)$
$(35, 45)$
$(45, 55)$
$(55, 65)$
$(65, 75)$
$(75, 85)$
$(85, 95)$
产品
60
100
160
300
200
100
80

(1)、估计这组样本的质量指标值的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；

(2)、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数， $\{x\}$ 表示不小于 $x$ 的最小整数， $s$ 精确到个位， $a_{n} = 5 \cdot \{\frac{\bar{x} - n s}{5}\}$ ， $b_{n} = 5 \cdot [\frac{\bar{x} + n s}{5}] n \in N^{*}$ ，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在 $[a_{1}, b_{1}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在 $[a_{2}, b_{2}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？

(3)、为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从 $A$ 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从 $B$ 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在 $A$ 类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在 $B$ 类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
（ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
（ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？

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16、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $B A ⊥ B C$ ， $P B ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $E$ 在平面 $A B C$ 内，且满足平面 $P A E ⊥$ 平面 $P B E$ ， $A B = B C = B P = 1$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ B E$ ；

(2)、当二面角 $E - P A - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，
（ⅰ）求三棱锥 $E - P C B$ 的体积．
（ⅱ）直线 $P E$ 与面 $P B C$ 所成角的余弦值．

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17、一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件 $R_{1}$ ， “乙摸到红球”为事件 $R_{2}$ .

(1)、小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件 $R_{1}$ 发生的可能性大于 $R_{2}$ 发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；

(2)、判断事件 $R_{1}$ 与 $R_{2}$ 是否相互独立，并证明.

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18、如图，已知正三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱长为2024，过其底面中心 $O$ 作动平面 $α$ ，交线段PC于点 $S$ ，交PA，PB的延长线于M，N两点.则 $\frac{1}{P S} + \frac{1}{P M} + \frac{1}{P N} =$ .

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19、已知 $A (3, 1), B (- 1, 2)$ ，若 $∠ A C B$ 的平分线方程为 $y = x + 1$ ，则 $A C$ 所在的直线方程为．

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20、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = x \vec{B A} + y \vec{B C} + z \vec{B B_{1}}$ ，则下列说法正确的有（）

A、当 $x = 0$ ， $z = 1$ ， $y \in R$ 时，对任意的点 $P$ ，都有三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 B、当 $x = 0$ ， $y > 0$ ， $z > 0$ 时，存在点 $P$ ，使得 $∠ P B C > ∠ P B A$ C、当 $x = 0$ ， $y = \frac{1}{2}$ ， $z > 0$ 时，存在唯一点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $x + y + z = 1$ 时， $B P$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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质量指标	$(25, 35)$	$(35, 45)$	$(45, 55)$	$(55, 65)$	$(65, 75)$	$(75, 85)$	$(85, 95)$
产品	60	100	160	300	200	100	80