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相关试卷

1、在空间中，“经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，法向量为 $\vec{e} = (A, B, C)$ 的平面的方程（即平面上任意一点的坐标 $(x, y, z)$ 满足的关系）是： $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ”．如果给出平面 $α$ 的方程是 $x - y + z = 1$ ，平面 $β$ 的方程是 $\frac{x}{6} - \frac{y}{3} - \frac{z}{6} = 1$ ，则由这两平面所成的角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{78}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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2、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是边长为1的正方形，侧棱 $A A_{1}$ 的长为 $a$ ， $E$ 为侧棱 $B B_{1}$ 上的动点（包括端点），则（）

A、对任意的 $a$ ，存在点 $E$ ，使得 $B_{1} D ⊥ E C_{1}$ B、当且仅当 $a = 1$ 时，存在点 $E$ ，使得 $B_{1} D ⊥ E C_{1}$ C、当且仅当 $a \geq 1$ 时，存在点 $E$ ，使得 $B_{1} D ⊥ E C_{1}$ D、当且仅当 $a \leq 1$ 时，存在点 $E$ ，使得 $B_{1} D ⊥ E C_{1}$

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A C = A A_{1}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4、某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为 $1$ ，方差为 $1$ ；高三（2）班答对题目的平均数为 $1.5$ ，方差为 $0. 35$ ，则这10人答对题目的方差为（）

A、 $0.61$ B、 $0.675$ C、 $0.74$ D、 $0.8$

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5、如图1，已知圆心 $C$ 在 $x$ 轴的圆 $C$ 经过点 $D (3, 0)$ 和 $E (2, \sqrt{3})$ .过原点且不与 $x$ 铀重合的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于A、B两点（ $A$ 在 $x$ 轴上方）.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $△ A B D$ 的面积为 $\sqrt{11}$ ，求直线l的方程；

(3)、将平面xOy沿 $x$ 轴折叠，使 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和 $x$ 轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后 $|A B|$ 的范围.

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6、已知圆 $Γ : x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $Q$ 在圆 $Γ$ 上，过 $Q$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $Q^{'}$ ，动点P满足 $\vec{Q^{'} Q} = \frac{2}{3} \vec{Q^{'} P}$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、斜率存在且不过 $B (0, 2)$ 的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为 $\frac{20}{9}$ .
①证明：直线l过定点；
②求 $△ B M N$ 面积的最大值.

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7、已知点 $P (2, - 1)$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ .

(1)、求点P到直线l的距离；

(2)、求点P关于直线l的对称点Q的坐标.

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8、已知向量 $\vec{a} = (x, y, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0, - 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $y - x =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足 $p = 6$ ， $a + b = 8$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $18 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $9 \sqrt{3}$

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10、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 - a) x - a, x < 1 \\ \log_{a} x, x \geq 1 \end{array}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的增函数，那么 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2}, 3)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(1, + \infty)$

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11、向量 $\vec{a} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为．（坐标表示）

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12、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若直线l的方向向量为 $\vec{m} = (2, 4, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1, - 2, 1)$ ，则 $l ⊥ α$ B、若空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 C、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角 D、若空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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13、如图，已知向量 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，可构成空间向量的一个基底，若 $\vec{a} = (a_{1} ， a_{2} ， a_{3}) ，$ $\vec{b} = (b_{1} ， b_{2} ， b_{3}) ， \vec{c} = (c_{1} ， c_{2} ， c_{3})$ ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} ， a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} ， a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ ，显然 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果仍为一向量，记作 $\vec{p}$ ．

（1）求证：向量 $\vec{p}$ 为平面 $O A B$ 的法向量；
（2）求证：以 $O A ， O B$ 为边的平行四边形 $O A D B$ 的面积等于 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ；
（3）将四边形 $O A D B$ 按向量 $\vec{O C} = \vec{c}$ 平移，得到一个平行六面体 $O A D B - C A_{1} D_{1} B_{1}$ ，试判断平行六面体的体积 $V$ 与 $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ 的大小．

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14、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $D$ 是 $B C$ 的中点， $C_{1} D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $A_{1} B //$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、当三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积最大时，求直线 $A_{1} B_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离．

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15、2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组 $[20, 30)$ ，第2组 $[30, 40)$ ，第3组 $[40, 50)$ ，第4组 $[50, 60),$ 第5组 $[60, 70]$ ，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、求样本中数据的第 $50$ 百分位数；

(2)、求样本数据的平均数；

(3)、若将频率视为概率，现在要从 $[20, 30)$ 和 $[60, 70]$ 两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在 $[20, 30)$ 组的概率.

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) // (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ ；

(2)、若向量 $- \vec{a} - k \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 所成角为钝角，求实数 $k$ 的范围．

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17、如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜ $\sqrt{2}$ ）．则下列结论：
①当a＝ $\frac{1}{2}$ 时，ME与CN相交；
②MN始终与平面BCE平行；
③异面直线AC与BF所成的角为45°；
④MN的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
正确的序号是．

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, 3, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 0, 3)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上投影向量的坐标为．

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19、样本数据 $5, 9, 6, 7, 11, 8, 10.5$ 的 $40$ ％分位数为．

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20、如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D = 2 A B$ ， $M$ 为边 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折成 $△ A B_{1} M$ ，若 $N$ 为是 $B_{1} D$ 的中点，则在 $△ A B M$ 的翻折过程中，下列命题正确的是（）

A、线段 $C N$ 的长为定值 B、异面直线 $A M$ 与 $B_{1} D$ 所成角为 $90 °$ C、直线 $C N$ 与平面 $A B_{1} M$ 所成角为定值 D、二面角 $A - B_{1} M - D$ 可以为直二面角

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