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相关试卷

1、已知点 $A (1, - 2, - 1)$ ，点C与点A关于平面Oxy对称，点B与点A关于z轴对称，则线段BC的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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2、已知非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则“ $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ ”是“ $\vec{a} // \vec{b}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非必要非充分条件

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3、中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4、已知 $a, b \in R$ ，则“ $2^{- a} < 2^{- b}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知全集 $U = R$ ，集合 $P = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ ， $Q = {x | - 2 \leq x \leq 5} ．$

(1)、若 $a = 3$ ，求 $(∁_{U} P) \cap Q ；$

(2)、若“ $x \in P$ ”是“ $x \in Q$ ”充分不必要条件，求实数 a的取值范围．

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6、若平面 $α$ 与平面 $β$ 平行， $a \subset α, b \subset β$ ，则直线 $a, b$ 的位置关系为．

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7、下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}$ B、 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ， $g (t) = t + \frac{4}{t}$ C、 $f (x) = | x + 3 |$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} x + 3, x \geq - 3, \\ - x - 3, x < - 3 \end{array}$ D、 $f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}$ ， $g (x) = x^{2} + 1$

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8、已知整数 $n ⩾ 4$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的整数数列，即 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in Z$ 且 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ．数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{n} = a_{n}$ ．若对于 $i \in \{2, 3, \dots, n - 1\}$ ，恒有 $b_{i} - a_{i - 1}$ 等于同一个常数 $k$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“左 $k$ 型间隔数列”；若对于 $i \in \{2, 3, \dots, n - 1\}$ ，恒有 $a_{i + 1} - b_{i}$ 等于同一个常数 $k$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“右 $k$ 型间隔数列”；若对于 $i \in \{2, 3, \dots, n - 1\}$ ，恒有 $a_{i + 1} - b_{i} = k$ 或者 $b_{i} - a_{i - 1} = k$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“左右 $k$ 型间隔数列”．

(1)、写出数列 $\{a_{n}\} : 1, 3, 5, 7, 9$ 的所有递增的“左右1型间隔数列”；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = 8 n (n - 1)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的“左 $k$ 型间隔数列”，数列 $\{c_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的“右 $k$ 型间隔数列”，若 $n = 10$ ，且有 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 7$ ．若存在 $\{a_{n}\}$ 的一个递增的“右4型间隔数列 $\{b_{n}\}$ ”，使得对于任意的 $i, j \in \{2, 3, \dots, n - 1\}$ ，都有 $a_{i} + b_{j} \neq b_{i} + a_{j}$ ，求 $a_{n}$ 的关于 $n$ 的最小值（即关于 $n$ 的最小值函数 $f (n)$ ）．

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9、数学老师在黑板上写上一个实数 $x_{0}$ ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数 $x_{0}$ 乘以 $- 2$ 再加上3得到 $x_{1}$ ，并将 $x_{0}$ 擦掉后将 $x_{1}$ 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数 $x_{0}$ 除以 $- 2$ 再减去3得到 $x_{1}$ ，也将 $x_{0}$ 擦掉后将 $x_{1}$ 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为 $x_{2}$ ．现已知 $x_{2} > x_{0}$ 的概率为0.5，则实数 $x_{0}$ 的取值范围是．

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10、若函数G在 $m \leq x \leq n (m < n)$ 上的最大值记为 $y_{\max}$ ，最小值记为 $y_{\min}$ ，且满足 $y_{\max} - y_{\min} = 1$ ，则称函数G是在 $m \leq x \leq n$ 上的“美好函数”．

(1)、下列三个函数① $y = x + 1$ ；② $y = | 2 x |$ ；③ $y = x^{2}$ ，哪个（些）是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的美好函数，说明理由．

(2)、已知函数 $G : y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ ．
①函数G是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的“美好函数”，求a的值；
②当 $a = 1$ 时，函数G是在 $t \leq x \leq t + 1$ 上的“美好函数”，求t的值；

(3)、已知函数 $G : y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a > 0)$ ，若函数G是在 $m + 2 \leq x \leq 2 m + 1$ （m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得 $k = \frac{y_{max}}{y_{min}}$ ，求a的值．

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11、若对任意 $x, y \in R$ ，有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，则函数 $g (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1} + f (x) + 3$ 在 $[- 2024, 2024]$ 上的最大值 $M$ 与最小值 $m$ 的和 $M + m =$ ．

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12、抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $y = \frac{1}{2}$ B、 $y = - \frac{1}{2}$ C、 $y = \frac{1}{8}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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13、近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒 $x$ 年（ $x$ 为正整数）所用的各种费用总计为 $2 x^{2} + 10 x$ 万元.

(1)、该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？

(2)、该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？

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14、我们用符号 $\max \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 三个数中较大的数，若 $x \in R, f (x) = \max \{- x + 3, \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}, x^{2} - 4 x + 3\}$ ，则 $f (x)$ 的最小值为.

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15、《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如， $a b = 1$ ，求证： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ．证明：原式 $= \frac{a b}{a b + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{b}{1 + b} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），当且仅当 $a = b$ 时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在 $x > 0$ 的条件下，当 $x$ 为何值时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少？
解： $∵ x > 0$ ， $\frac{1}{x} > 0$ ， $∴ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，即 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ， $∴ x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ ，即 $x = 1$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：

(1)、已知 $a \cdot b = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值．

(2)、若 $a \cdot b \cdot c = 1$ ，解关于 $x$ 的方程 $\frac{5 a x}{a b + a + 1} + \frac{5 b x}{b c + b + 1} + \frac{5 c x}{c a + c + 1} = 1$ ．

(3)、若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a \cdot b = 1$ ，求 $M = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + 2 b}$ 的最小值．

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16、命题“ $\exists x > 0, x^{2} - 3 x - 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0, x^{2} - 3 x - 1 \leq 0$ B、 $\exists x \leq 0, x^{2} - 3 x - 1 \leq 0$ C、 $\forall x > 0, x^{2} - 3 x - 1 \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0, x^{2} - 3 x - 1 \leq 0$

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17、已知 $a = {0.3}^{1.5}, b = \log_{1.5} 0.3, c = {1.5}^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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18、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．
（1）当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ .
(1)证明 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(2)证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

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20、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．

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