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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $2 \sqrt{2} + 2$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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2、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x + 3 y - 2 = 0$ 上，且经过点 $E (4, 2)$ 和 $F (2, 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $A (1, 1)$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $P$ ， $Q$ ，求 $|P Q| .$

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3、如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为m.

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4、下面四个结论正确的是（）

A、空间向量 $\vec{a}, \vec{b} (\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、对空间中四点 $A, B, C, D$ ，若存在点 $O$ ，使 $\vec{O D} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点共面 C、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}\}$ 也是空间的一个基底 D、任意向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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5、下列四个选项中，说法正确的有（）

A、坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B、直线 $a x + 2 y + 6 = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y + a^{2} - 1 = 0$ 互相平行，则 $a = - 1$ C、过 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $(y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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6、坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若 $A B = 15$ m， $B C = 6$ m，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 $A B C D$ 的夹角均为 $45 °$ ，则该五面体的体积为（）

A、 $126 m^{3}$ B、 $117 m^{3}$ C、 $108 m^{3}$ D、 $99 m^{3}$

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7、点 $Q$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ 上的一个动点，则点 $Q$ 到动直线 $y = k x + 2 k - 2$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ B、6 C、 $\sqrt{17} + \sqrt{5}$ D、7

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8、椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的弦被点 $(2, 2)$ 平分，则这条弦所在的直线的方程为（）

A、 $x + 4 y - 10 = 0$ B、 $x - 4 y - 10 = 0$ C、 $4 x - 4 y + 10 = 0$ D、 $4 x - y - 10 = 0$

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9、两平行直线 $m x - 4 y - 2 = 0$ 与 $3 x - 4 y - 12 = 0$ 之间的距离为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10、以 $A (- 1, 1)$ 为圆心，且经过点 $B (1, 2)$ 的圆的一般方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 7 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 3 = 0$

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11、下列说法正确的有（）
①随机事件 $A$ 的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值
②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7
③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上
④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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12、已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上有两个零点

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13、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 9) x^{m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数， $m \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 ${(2 - a)}^{\frac{1}{m - 1}} > {(2 a - 1)}^{\frac{1}{m - 1}}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 4 a x + 3, x \leq 1 \\ a^{x}, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2}, \frac{4}{5}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[\frac{4}{5}, 1)$

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15、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180 $r/ \min$ （转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（）cm.

A、 $5400 π$ B、 $90 π$ C、 $180 π$ D、 $40 π$

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16、已知实数 $a > b$ ，则“ $a c > b c$ ”是“ $c > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知 $f (x) = \frac{6}{3^{x} + a} + b$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，函数 $g (x) = x^{2} - 4 x - f (x) + \frac{208}{41}$ .

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 的值域；

(3)、已知 $t > 0$ ，且 $t \neq 1$ ，若对于任意 $m \in [2, 3]$ ，存在 $x \in [2, 4]$ ，使得 $g (x) \geq t^{m - \frac{3}{2}}$ 成立，求t的取值范围.

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18、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 2}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减.

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19、已知 $a > b > 1$ ．

(1)、证明 $\frac{a}{a - 1} < \frac{b}{b - 1}$ ．

(2)、若 $a + b = 5$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b + 1}$ 的最小值．

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20、给出下列两个结论：① $\forall x \in [1, 3]$ ， $m x - 2 m - 4 < 0$ ；②函数 $f (x) = x^{2} - (m + 1) x - 3$ 在 $[1, 2]$ 上单调.

(1)、若结论①正确，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若结论①②都正确，求 $m$ 的取值范围.

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