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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} {log}_{2} x, x > 0 \\ 3^{x}, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})]$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、2

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2、已知直线 $l_{1} : x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : (3 a - 1) x - a y - 1 = 0$ ，则“ $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ”是“ $a = \frac{1}{6}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 4 - 3 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、 $- 1$

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4、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{x | x < - 1$ 或 $x > 4\}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 $\{x | - 2 \leq x < 4\}$ B、 $\{x | x \leq 3$ 或 $x \geq 4\}$ C、 $\{x | - 2 \leq x < - 1\}$ D、 $\{x | - 1 \leq x \leq 3\}$

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5、若函数 $f (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 4 (2^{x} + 2^{- x}) + m$ 有且只有一个零点，则实数 $m$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6、已知集合 $A = \{x |1 < 2^{x} < 8\}$ ， $B = \{x |(x + 1) (x - 2) < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 1, 8)$

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7、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A A_{1}} = \overset{⃑}{c}$ ，点 $P$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，则 $\overset{⃑}{D P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ B、 $\overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{c}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}$

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8、已知底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A // D Q$ ， $P A = A D = 3 D Q = 3$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为线段 $P B$ 、 $C Q$ 的中点．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $P A D Q$ ；

(2)、求平面 $P C Q$ 与平面 $C D Q$ 夹角的余弦值；

(3)、线段 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与平面 $P C Q$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，若存在求出 $\frac{P M}{M C}$ 的值，若不存在，说明理由．

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9、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 为正方体上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的动点，则（）

A、满足 $M P / /$ 平面 $B D A_{1}$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、满足 $M P ⊥ A M$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、存在唯一的点 $P$ 满足 $∠ A P M = \frac{π}{2}$ D、存在点 $P$ 满足 $|P A| + |P M| = 4$

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10、如图，以等腰直角 $△ A B C$ 的斜边BC上的高AD为折痕，把 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ B、 $A B ⊥ D C$ C、 $B D ⊥ A C$ D、平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直

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11、定义若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a^{2} > b^{2} > 0$ ）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a^{2} > b^{2} > 0$ ）为“完美曲线”，且 $Γ$ 和 $l_{1}$ ： $x + \sqrt{6} y = 4$ ， $l_{2}$ ： $x - \sqrt{6} y = 4$ 均相切．

(1)、求 $Γ$ 的表达式和离心率

(2)、已知动点 $P$ 在 $Γ$ 的第一象限上运动， $l_{P}$ 和 $P$ 相切，和 $l_{1}$ 交于 $C$ ，和 $l_{2}$ 交于 $D$ ．设 $Γ$ 右焦点为 $F_{1}$ ，证明 $∠ C F_{1} D$ 是定值，并求其正切值．

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12、设 $f (x) = e^{x^{3} - x} - a x$

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点数量．

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13、某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
月份
1月
2月
3月
小型汽车数量 $x$ （辆）
30
60
80
创造的收益 $y$ （元）
4800
6000
4800

(1)、根据上表数据，从下列三个函数模型中：① $y = a x + b$ ， ② $y = a x^{2} + b x + c$ ， ③ $y = a^{x} + b$ 选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量 $x$ （辆）与创造的收益 $y$ （元）之间的关系，并写出这个函数关系式；

(2)、利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？

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14、从1，2，…，2024中任取两数 $a$ ， $b$ （可以相同），则 $3^{a} + 7^{b}$ 个位为8的概率为

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15、四面体 $A B C D$ 体积为6， $A B ⊥ B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A B = B C = C D = 2 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D$ 与 $B C$ 的夹角为

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16、二项式 ${(3 - 2 x)}^{6}$ 中展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

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17、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B D ⊥ A C$ ， $B D = 2 A C = 4$ ，且 $\frac{A B}{A D} = \frac{C B}{C D} = 2$ ，则（）

A、当 $△ A C D$ 为等边三角形时， $A B ⊥ C D$ ， $A D ⊥ B C$ B、当 $A D ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ 时，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ C、 $△ A B D$ 的周长等于 $△ B C D$ 的周长 D、三棱锥 $A - B C D$ 体积最大为 $\frac{4 \sqrt{55}}{9}$

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18、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (a b + b c + c a)$ B、 $\frac{a}{1 + a}$ ， $\frac{b}{1 + b}$ ， $\frac{c}{1 + c}$ 不能构成三角形 C、若 $a^{3} + b^{3} = c^{3}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为有理数，则 $cos (A - B)$ 为有理数

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19、数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数 $N$ ， $N > 66$ 且该数列的第 $N$ 项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码是（）

A、87 B、94 C、101 D、108

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20、设抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，点 $N (\sqrt{6}, y_{0})$ （ $y_{0} > \frac{p}{2}$ ）是 $C$ 上一点．已知以 $N$ 为圆心的圆与 $x$ 轴相切，与线段 $N F$ 相交于点 $A$ ， $\vec{N A} = 2 \vec{A F}$ ，圆 $N$ 被直线 $y = \frac{p}{2}$ 截得的弦长为 $\sqrt{3} |N A|$ ，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $y = - \frac{1}{2}$ B、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - 2$

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月份	1月	2月	3月
小型汽车数量 $x$ （辆）	30	60	80
创造的收益 $y$ （元）	4800	6000	4800