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相关试卷

1、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $\vec{b} = (- 1, 0)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2、已知 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} - x < - 2$ ； $q : \exists x \in (0, 1)$ ， $|x - 1| < 1$ ，则（）

A、 $p$ 假 $q$ 假 B、 $p$ 假 $q$ 真 C、 $p$ 真 $q$ 真 D、 $p$ 真 $q$ 假

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3、 $|- 1 + 2 i| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $△ P A D$ 是斜边为AD的等腰直角三角形， $A B ⊥ A D, A B = 1, A D = 4, A C = C D = 2 \sqrt{2} .$

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $P A B ；$

(2)、求PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)、在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5} ?$ 若存在，求出 $\frac{P M}{P B}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} e^{2 x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论方程 $f (x) = m$ （ $m \in R$ ）解的个数.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + 1 < a_{n + 1} < 2 a_{n} + 2$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 2024$ ，则正整数 $m$ 的所有可能取值的个数为（）

A、48 B、50 C、52 D、54

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7、已知圆 $C : {(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 3$ ，直线 $l : y = a x + 1$ ，点 $M$ 、 $N$ 为圆 $C$ 上的两个动点，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ M P N = 120 °$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{21}{20}$ D、 $\frac{20}{21}$

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8、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和点 $M (1, \sqrt{3}) .$

(1)、过点M作圆O的切线，求切线的方程；

(2)、已知 $A (2, 4)$ ，设P为满足方程 ${|P A|}^{2} + {|P O|}^{2} = 34$ 的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得 $\frac{{|P B|}^{2}}{{|P N|}^{2}}$ 为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；

(3)、过点M作直线l交圆O于两个不同的点C， $D ($ 线段CD不经过圆心 $O)$ ，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C, M, N$ 分别为 $A C, A B$ 的中点， $P M ⊥ A B, A B = B C = 2, B P = P M = 3$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P N$ ：

(2)、求平面 $P M N$ 和平面 $P M B$ 夹角 $α$ 的正弦值；

(3)、在线段 $P C$ 上是否存在点 $G$ ，使得点 $G$ 到平面 $P M B$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ？若存在，求出 $\frac{P G}{P C}$ 的值：苦不存在，请说明理由.

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10、下列命题中，正确命题的个数为（）
①若直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{n} = (- 2, 1, 1)$ ，则 $l ∥ α$
②若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{2}{3} \vec{a}$
③若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是钝角
④已知正四面体 $O A B C$ 的棱长为1，则 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{C A} + \vec{C B}) = 1$

A、4 B、3 C、2 D、1

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11、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 均在 $x$ 轴上， $C$ 的面积为 $3 \sqrt{5} π$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于点 $A, B$ ，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为12.则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$

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12、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ 的公共弦长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、直线 $l_{1} : 2 x + y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 4 x + 2 y - 1 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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14、已知 $Q : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 $n \in {1, 2, \dots, m}$ ，在Q中存在 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j} (j \geq 0)$ ，使得 $a_{i} + a_{i + 1} + a_{i + 2} + \dots + a_{i + j} = n$ ，则称Q为 $m -$ 连续可表数列．

(1)、判断 $Q : 2, 1, 4$ 是否为 $5 -$ 连续可表数列？是否为 $6 -$ 连续可表数列？说明理由；

(2)、若 $Q : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 为 $8 -$ 连续可表数列，求证：k的最小值为4；

(3)、若 $Q : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 为 $20 -$ 连续可表数列，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} < 20$ ，求证： $k \geq 7$ ．

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15、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 0)$ ，且 $f (2 x) + f (x + y) f (x - y) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (4) + {[f (1)]}^{2} = 0$ C、 $f (x) f (- x) = 1$ D、 $f (x) + f (- x) \leq - 2$

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16、已知集合 $A = \{(x, y)| x, y \in Z, 且 x y = 4\}$ ， $B = \{(x, y)| x \leq y\}$ ，则 $A \cap B$ 的子集的个数为（）

A、3 B、4 C、8 D、16

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17、命题“ $\exists x \in R, \frac{1}{2} x^{2} + x - \frac{3}{2} - a < 0$ ”为真命题的一个必要不充分条件是（）

A、 $a \geq 0$ B、 $a \geq 1$ C、 $a > - 2$ D、 $a \geq - 3$

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18、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ． $E, F$ 分别是线段 $A B, B C$ 上的点，且 $E B = F B = 1$ .

(1)、求直线 $E C_{1}$ 与 $F D_{1}$ 所成角α的余弦值；

(2)、求二面角 $C - D E - C_{1}$ 的余弦值.

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19、如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系xOy中的坐标，假设 $\vec{O P} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ .

(1)、计算 $| \vec{O P} |$ 的大小；

(2)、是否存在实数n，使得 $\vec{O P}$ 与向量 $\vec{b} = (1, n)$ 垂直，若存在，求出n的值，若不存在请说明理由．

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20、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ， $A B = 4$ ， $B D = 10$ ．

(1)、求 $cos ∠ A D B$ ；

(2)、若 $△ B C D$ 的面积为 $4 \sqrt{46}$ ，求 $B C$ ．

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